Sejarah Dan Filsafat Matematika
Sejarah Matematika
Menurut Berggren, JL, 2004, penemuan matematika dalam jaman Mesopotamia serta Mesir Kuno, berdasarkan dalam poly dokumen asli yang terdapat ditulis oleh juru tulis. Meskipun dokumen-dokumen yg berupa artefak nir terlalu banyak, namun mereka dipercaya mampu mengungkapkan matematika pada jamantersebut. Artefak matematika yang ditemukan menampakan bahwa bangsa Mesopotamia telah mempunyai poly pengetahuan matematika yg luar biasa, meskipun matematika mereka masih primitif dan belum disusun secara deduktif seperti kini . Matematika pada jaman Mesir Kuno dapat dipelajari berdasarkan artefak yang ditemukan yang lalu diklaim menjadi Papyrus Rhind (diedit pertama kalinya dalam 1877), telah menaruh gambaran bagaimana matematika pada Mesir kuno telah berkembang pesat. Artefak-artefak berkaitan dengan matematika yg ditemukan berkaitan menggunakan daerah-wilayah kerajaan seperti kerajaan Sumeria 3000 SM, Akkadia dan Babylonia rezim (2000 SM), serta kerajaan Asyur (1000 SM), Persia (abad 6-4 SM), serta Yunani (abad ke 3 - 1 SM).
Pada jaman Yunani antik paling nir tercatat matematikawan krusial yaitu Thales serta Pythagoras. Thales serta Pythagoras mempelopori pemikiran dalam bidang Geometri, tetapi Pythagoraslah yg memulai melakukan atau menciptakan bukti-bukti matematika. Sampai masa pemerintahan Alexander Agung dari Yunani serta sesudahnya, sudah tercatat Karya monumental berdasarkan Euclides berupa karya buku yg berjudul Element (unsur-unsur) yg adalah kitab Geometri pertama yg disusun secara konklusi.
Risalah penting menurut periode awal matematika Islam banyak yang hilang, sebagai akibatnya ada pertanyaan yg belum terjawab masih banyak tentang hubungan antara matematika Islam awal serta matematika dari Yunani serta India. Selain itu, jumlah jumlah dokumen yang relatif sedikit mengakibatkan kita mengalami kesulitan buat menelusuri sejauh mana peran matematikawan Islam dalam pengembangan matematika di Eropa selanjutnya. Tetapi yg kentara, sumbangan matematikawan Islam cukup besar bersamaan dengan kebangkitan pemikiran terkini yg timbul himpunanelah jaman kegelapan hingga kurang lebih abad ke 15 himpunanelah masehi.
Penemuan indera cetak mencetak dalam jaman modern, yaitu kurang lebih abad ke 16, sudah memungkinkan para matematikawan satu menggunakan yg lainnya melakukan komunikasi secara lebih intensif, sehingga mampu menerbitkan karya-karya hebat. Hingga sampailah pada jamannya Hilbert yang berusaha buat membentuk matematika menjadi suatu sistem yg tunggal, lengkap dan konsisten. Tetapi usaha Hilbert lalu bisa dipatahkan atau ditemukan kesalahannya sang muridnya sendiri yg bernama Godel yg menyatakan bahwa tidaklah mungkin diciptakan matematika yang tunggal, lengkap dan konsisten. Persoalan Geometri serta Aljabar kuno, bisa ditemukan di dokumen yang tersimpan di Berlin. Salah satu problem tersebut misalnya memperkirakan panjang diagonal suatu persegi panjang. Mereka menggunakanhubungan antara panjang sisi-sisi persegi panjang yang kemudian mereka menemukan bentuk segitiga siku-siku. Hubungan antara sisi-sisi siku-siku ini kemudian dikenal menggunakan nama Teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras ini sebetulnya telah digunakan lebih menurut 1000 tahun sebelum ditemukan sang Pythagoras.
Orang-orang Babilonia sudah menemukan sistem sapta sexagesimal yg lalu bermanfaat buat melakukan perhitungan berkaitan menggunakan ilmu-ilmu perbintangan. Para astronom dalam jaman Babilonia telah berusaha buat memprediksi suatu peristiwa dengan mengaitkan dengan fenomena perbintangan, seperti gerhana bulan serta titik kritis dalam daur planet (konjungsi, oposisi, titik stasioner, dan visibilitas pertama serta terakhir). Mereka menemukan teknik buat menghitung posisi ini (dinyatakan dalam derajat lintang dan bujur, diukur nisbi terhadap jalur gerakan jelas tahunan Matahari) menggunakan berturut-turut menambahkan istilah yg tepat pada perkembangan aritmatika. Matematika di Mesir Kuno disamping dikarenakan pengaruh berdasarkan Masopotamia serta Babilonia, namun jua dipengaruhi sang konteks Mesir yg mempunyai genre sungai yang lebar dan panjang yang menghidupi rakyat Mesir dengan peradabannya. Persoalan interaksi kemasyarakatan muncul dikarenakan kegiatan survive bangsa Mesir menghadapi keadaan alam yg dapat menyebabkan perseteruan diantara mereka, misalnya bagaimana memilih batas wilayah, ladang atau sawah dipinggir sungai Nil himpunanelah banjir bandang terjadi yang menyebabkan tanah mereka tertimbun lumpur sampai beberapa meter. Dari galat satu kasus inilah kemudian timbul gagasan atau ide tentang luas daerah, batas-batas dan bentuk-bentuknya. Maka pada jaman Mesir Kuno, Geometri telah tumbuh pesat menjadi cabang Matematika.
Dalam saat relatif singkat (mungkin hanya satu abad atau kurang), metode yang dikembangkan oleh orang Babilonia serta Masir Kuno telah sampai ke tangan orang-orang Yunani. Misal, Hipparchus (2 abad SM) lebih menyukai pendekatan geometris pendahulu Yunani, namun kemudian beliau menggunakan metode berdasarkan Mesopotamia dan mengadopsi gaya seksagesimal. Melalui orang-orang Yunani itu diteruskan ke para ilmuwan Arab pada abad pertengahan dan berdasarkan situ ke Eropa, pada mana itu permanen menonjol dalam matematika astronomi selama Renaissance dan periode modern awal. Sampai hari ini permanen terdapat dalam penggunaan mnt dan dtk buat mengukur waktu dan sudut. Aspek dari matematika Babilonia yang telah sampai ke Yunani sudah menaikkan kualitas kerja matematika dengan nir hanya percaya denganbentuk-bentuk fisiknya saja, melainan diperoleh agama melalui bukti-bukti matematika. Prinsip-prinsip Teorema Pythagoras yg sudal dikenal semenjak jaman Babilonia yaitu kurang lebih seribu tahun sebelum jaman Yunani, mulai dibuktikan secara matematis sang Pythagoras dalam jaman Yunani Kuno.
Pada jaman Yunani Kuno, selama periode menurut sekitar 600 SM hingga 300 SM , yg dikenal sebagai periode klasik matematika, matematika berubah berdasarkan fungsi mudah sebagai struktur yang koheren pengetahuan deduktif. Perubahan penekanan dari pemecahan kasus mudah ke pengetahuan mengenai kebenaran matematis generik dan perkembangan obyek teori mengubah matematika ke pada suatu disiplin ilmu. Orang Yunani memperlihatkan kepedulian terhadap struktur logis matematika. Para pengikut Pythagoras berusaha buat menemukan secara niscaya
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku. Tetapi mereka tidak dapat menemukan nomor yg eksklusif menggunakan skala yang sama yg berlaku buat seluruh sisi-sisi segitiga tadi.
Hal inilah yang kemudian dikenal menggunakan dilema Incommensurability, yaitu adanya skala yg tidak sama agar diperoleh bilangan yg tertentu buat sisi miringnya. Jika dipaksakan dipakai skala yang sama (atau commensurabel) maka pada akhirnya mereka menemukan bahwa panjang hepotenusa bukanlah bilangan bundar melainkan bilangan irrasional.
Prestasi bangsa Yunani Kuno yg monumental merupakan adanya karya Euclides mengenai Geometri Aksiomatis. Sumber primer buat merekonstruksi pra-Euclidean kitab karya Euclides bernama Elemen (unsur-unsur), di mana sebagian akbar isinya masih relevan dan digunakan sampai saat sekarang. Element terdiri menurut 13 jilid. Buku I berkaitan menggunakan kongruensi segitiga, sifat-sifat garis paralel, dan interaksi wilayah menurut segitiga serta jajaran genjang; Buku II tetapkan kehimpunanaraan yang herbi kotak, persegi panjang, serta segitiga; Buku III berisi sifat-sifat Lingkaran; serta Buku IV berisi tentang poligon dalam bundar. Sebagian besar isi berdasarkan Buku I-III adalah karya-karya Hippocrates, serta isi dari Buku IV bisa dikaitkan menggunakan Pythagoras, sehingga bisa dipahami bahwa kitab Elemen ini mempunyai sejarahnya hingga berabad-abad sebelumnya. Buku V menguraikan sebuah teori umum proporsi, yaitu sebuah teori yang tidak memerlukan pembatasan buat besaran sepadan. Ini teori umum berasal menurut Eudoxus. Berdasarkan teori, Buku VI mendeskripsikan sifat bujursangkar serta generalisasi dari teori kongruensi dalam Buku I. Buku VII-IX berisi tentang apa yg oleh orang-orang Yunani disebut "aritmatika," teori sapta bulat. Ini mencakup sifat-sifat proporsi numerik, pembagi terbesar, kelipatan generik, serta sapta prima(Buku VII); proposisi pada progresi numerik serta persegi (Buku VIII), serta hasil khusus, misalnya faktorisasi sapta prima yang unik ke dalam, eksistensi yg nir terbatas jumlah sapta prima, dan pembentukan "sempurna" nomor , yaitu angka-nomor yg sama menggunakan jumlah pembagi (Buku IX). Dalam beberapa bentuk, Buku VII berasal dari Theaetetus serta Buku VIII dari Archytas. Buku X menyajikan teori garis irasional serta asal menurut karya Theaetetus dan Eudoxus. Buku Xiberisi tentang bangun ruang; Buku XII menerangkan theorems pada rasio bulat, rasio bola, serta volume piramida serta kerucut.
Warisan Matematika Yunani, terutama dalam geometri , sangat akbar. Dari periode awal orang-orang Yunani merumuskan tujuan matematika tidak pada hal prosedur mudah namun menjadi disiplin teoritis berkomitmen buat menyebarkan proposisi umum dan demonstrasi formal. Kisaran serta keragaman temuan mereka, terutama yg dari abad SM-tiga, geometri telah sebagai bahan ajar selama berabad-abad himpunanelah itu, meskipun tradisi yg ditransmisikan ke Abad Pertengahan dan Renaissance tidak lengkap serta stigma.
Peningkatan pesat dari matematika pada abad ke-17 didasarkan sebagian pada pembaharuan terhadap matematika kuno serta matematika dalam jaman Yunani. Mekanika menurut Galileo dan perhitungan-perhitungan yang dibentuk Kepler dan Cavalieri, merupakan ide pribadi bagi Archimedes. Studi tentang geometri yang dilakukan sang Apollonius serta Pappus dirangsang sang pendekatan baru dalam geometri-contohnya, analitik yang dikembangkan oleh Descartes serta teori proyektif berdasarkan Desargues Girard.
Kebangkitan matematika dalam abad 17 sejalan dengan kebangkitan pemikiran para filsuf sebagai anti tesis abad gelap dimana kebenaran didominasi oleh Gereja. Maka Copernicus merupakan tokoh pendobrak yang menantang pandangan Gereja bahwa bumi sebagai pusat jagat raya; serta menjadi gantinya dia mengutarakan wangsit bahwa bukanlah Bumi melainkan Mataharilah yg adalah sentra tata mentari , sedangkan Bumi mengelilinginya. Jaman kebangkitan ini lalu dikenal menjadi Jaman Modern, yang ditandai dengan keluarnya tokoh-tokoh pemikir filsafat sekaligus matematikawan seperti Immanuel Kant, Rene Descartes, David Hume, Galileo, Kepler, Cavalieri, dst.
Filsafat Matematika
Wilkins, DR, 2004, mengungkapkan bahwa masih ada beberapa definisi tentang matematika yg berbeda-beda. Ahli akal Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yg paling luas adalah pengembangan seluruh jenis pengetahuan yg bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-wangsit mengenai jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika adalah model yg paling cemerlang mengenai bagaimana akal murni berhasil sanggup memperoleh kesuksesannya menggunakan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian akbar ilham matematika terbaik asal berdasarkan pengalaman. Riemann menyatakan bahwa apabila dia hanya memiliki teorema, maka beliau sanggup menemukan bukti relatif mudah. Kaplansky menyatakan bahwa waktu yg paling menarik merupakan bukan pada mana sesuatu terbukti akan tetapi pada mana konsep baru ditemukan. Weyl menyatakan bahwa Tuhan terdapat lantaran matematika merupakan konsisten serta iblis terdapat lantaran kita nir dapat membuktikan matematika konsistensi ini. Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yg tergantung pada vitalitas interaksi antara bagian-bagiannya, dan inovasi pada matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yg sudah kehilangan manfaatnya serta penyatuan balik unsur-unsurnya buat menemukan konsep baru.
Hempel, CG, 2001, menegaskan pulang apa yang telah dikemukakan sang John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu realitas yg berbeda berdasarkan cabang lain seperti astronomi, ekamatra, kimia, dll, terutama dalam dua hal: bahan ajar merupakan lebih generik daripada apapun lainnya menurut penelitian ilmiah, serta proposisi yg sudah diuji serta dikonfirmasi ke taraf yang lebih akbar dibandingkan beberapa bagian yg paling mapan astronomi atau ekamatra. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika sudah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika pada bentuk kualitatif tidak sama menurut hipotesis baik menurut cabang lain.
Hempel, CG, 2001, lebih lanjut menyatakan bahwa sekali istilah primitif serta dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunaniap kata dari teori matematika adalah didefinisikan pada hal primitif, serta himpunaniap proposisi teori secara logis deducible menurut postulat, adalah sepenuhnya sempurna. Perlu pula buat memilih prinsip-prinsip logika yg dipakai dalam verifikasi proposisi matematika. Ia mengakui bahwa prinsip-prinsip bisa dinyatakan secara eksplisit ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil akal. Dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, Hempel mendapat tesis dari logicism bahwa Matematika merupakan cabang berdasarkan nalar lantaran seluruh konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, serta, bisa didefinisikan dalam empat konsep menurut nalar murni, dan seluruh teorema matematika bisa disimpulkan berdasarkan definisi tadi melalui prinsip-prinsip logika. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa komponen krusial dari matematika meliputi konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; pada mana penambahan dan pembagian terhubung menggunakan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan merupakan elemen dari konsep-konsep matematika.
Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen krusial ke 2 buat interpretasi konsep matematika adalah kemampuan insan menurut abstrak, yaitu kemampuan pikiran buat mengetahui sifat abstrak menurut dari obyek serta menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Lantaran fenomena bahwa seluruh matematika adalah tak berbentuk, beliau percaya bahwa galat satu motif dari intuitionists buat berpikir matematika merupakan produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen krusial ketiga merupakan konsep infinity, sedangkan konsep tidak terbatas berdasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tidak terbatas bukan kuantitas, namun konsep yang bertumpu dalam kemungkinan tidak terbatas, yg merupakan karakter berdasarkan kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi serta kemungkinan. Menurut dia, informasi yg terlibat menggunakan bilangan rasional serta irasional sama sekali tidak relevan buat interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan menggunakan konsep-konsep matematika, sapta rasional menjadi n / p serta bilangan irasional menggunakan p merupakan bilangan bulat, hanya kasus cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah pada matematika buat dijelaskan menggunakan kata matematika serta bahasa.
Di sisi lain, Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari operasi manusia menggunakan koleksi benda-benda kongkrit, namun nir mungkin buat memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan asli sudah yang stabil tentang dan terlepas berdasarkan sumber yaitu sebenarnya. Hubungan kuantitatif berdasarkan himpunanbenda-benda fisik dalam praktek insan, serta mulai bekerja menjadi model berdikari yg kokoh. Menurut beliau, sistem bilangan asli adalah idealisasi interaksi-interaksi kuantitatif; di mana orang memperolehnya dari pengalaman mereka dengan himpunan serta ekstrapolasi aturan ke himpunan yg jauh lebih besar (jutaan hal) dan menggunakan demikian situasi idealnya sebagai konkret. Dia menegaskan bahwa proses idealisasi berakhir kokoh, permanen, dan berdikari , sementara bangun-bangun fisiknya berubah. Sementara konsep matematika diperoleh dengancara melepaskan sebagian besar sifat-sifatnya kemudian buat memikirkan sebagian kecil sifat-sifat tertentunya saja. Hal demikian yg kemudian disebut menjadi abstraksi. Sementara sifat-sifat yang tersisa yg memang wajib dipelajari, diasumsikan bahwa mereka memiliki sifat yg paripurna; misal bahwa lurus adalah paripurna lurus, lancip adalah sempurna lancip, demikian himpunanerusnya. Yang demikian itulah yang lalu dikenal menjadi idealisasi.
Peterson, I., 1998, menyebutkan bahwa dalam awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yg ambisius buat merumuskan suatu sistem aksioma dan anggaran inferensi yg akan meliputi seluruh matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hilbert menegaskan bahwa suatu sistem formal dari aksioma serta aturan harus konsisten, yg berarti bahwa seorang nir bisa menerangkan sebuah pernyataan serta kebalikannya dalam waktu yang sama, beliau jua menginginkan skema yang lengkap, adalah satu selalu dapat menerangkan pernyataan yang diberikan mampu benar atau keliru. Hilbert berpendapat bahwa harus ada mekanisme yg kentara buat memutuskan apakah suatu proposisi tertentu berikut berdasarkan himpunan aksioma, menggunakan itu, diberikan sebuah sistem yang kentara berdasarkan aksioma dan anggaran inferensi yang tepat, akan lebih mungkin, meskipun nir sahih-benar praktis, buat menjalankan melalui semua proposisi mungkin, dimulai dengan urutan terpendek simbol, serta untuk menyelidiki mana yang valid. Pada prinsipnya, suatu prosedur keputusan secara otomatis akan membentuk seluruh teorema mungkin dalam matematika.
Di sisi lain, ia mengungkapkan bahwa matematika formal berdasarkan dalam logika formal; mengurangi hubungan matematis buat pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal merupakan himpunan kosong yg berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan serta hampir setiap bukti matematis yg pernah dibangun bisa dibuat menggunakan perkiraan tidak ada di luar yang aksioma. Itu jua menyatakan bahwa jika tak terhingga merupakan potensi serta tidak pernah sebagai fenomena terselesaikan maka himpunan terbatas tidak terdapat, karenanya, ahli matematika mencoba buat mendefinisikan struktur tak terbatas yg paling umum dibayangkan karena itu sepertinya memberikan harapan paling baik, bila himpunan tidak terbatas ada maka akan menjadi landasan matematika yg kokoh. Lebih lanjut, ia menyatakan bahwa matematika wajib langsung terhubung ke sifat program non-deterministic di alam semesta yg potensial nir terbatas, hal ini akan membatasi perluasan buat sebuah himpunan bilangan ordinal serta himpunan yang bisa dibangun berdasarkan mereka. Obyek didefinisikan dalam suatu sistem matematis yg formal nir peduli apakah aksioma tak terhingga itu termasuk yang dimasukkan, serta bahwa sistem formal bisa diartikan menjadi suatu program komputer buat membuat teorema di mana program tersebut dapat menghasilkan semua nama-nama benda atau himpunan yang didefinisikan pada sistem tersebut. Selanjutnya, semua bilangan kardinal yang lebih besar yg pernah didefinisikan dalam sistem matematika yg terbatas, nir akan dihitung dari dalam sistem tersebut.
Peterson, I., 1998, mencatat bahwa apa Hilbert beropini bahwa kita bisa memecahkan kasus apabila kita cukup pandai dan bekerja cukup lama , serta matematikawan Gregory J. Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya dengan prinsip bahwa terdapat batas buat apa matematika sanggup dicapai. Tetapi, dalam tahun 1930, Kurt Godel (1906-1978) menerangkan bahwa nir terdapat prosedur keputusan tersebut merupakan mungkin buat setiap sistem nalar yang terdiri dari aksioma serta proposisi relatif canggih buat mencakup jenis masalah matematika yg hebat yg bekerja dalam setiap hari; beliau menerangkan bahwa bila kita asumsikan bahwa sistem matematika konsisten, maka kita mampu memperlihatkan bahwa itu tidak lengkap. Peterson berkata bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu terdapat beberapa pernyataan yang bisa nir terbukti atau nir valid dalam sistem. Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti menggunakan agunan bahwa jawaban eksklusif sudah pernah ada.
Chaitin mengambarkan bahwa suatu mekanisme tidak bisa membuat output yg lebih kompleks berdasarkan dalam mekanisme itu sendiri, menggunakan kata lain, beliau membuat teori bahwa wanita berbobot 1-pon tidak sanggup melahirkan bayi berbobot 10-pon. Wanita berbobot 10 pon nir mampu melahirkan bayi 100 pon, dst. Sebaliknya, Chaitin pula memperlihatkan bahwa tidak mungkin menciptakan prosedur buat membuktikan bahwa sejumlah kompleksitas bersifat acak, maka, sejauh bahwa pikiran insan merupakan sejenis komputer, mungkin terdapat jenis kompleksitas begitu mendalam serta halus yg akal kita tidak pernah bisa tahu nya; urutan apapun yang mungkin terletak dalam kedalaman akan dapat diakses, serta selalu akan timbul buat kita menjadi keacakan. Pada waktu yg sama, pertanda bahwa berurutan adalah acak pula bisa mengatasi kesulitan, nir terdapat cara buat memastikan bahwa kita tidak diabaikan. Peterson, I., 1998, menyatakan bahwa hasil Chaitin ini menunjukkan bahwa kita jauh lebih mungkin buat menemukan keacakan dari ketertiban dalam domain matematika eksklusif; kompleksitas versin teorema Godel menyatakan bahwa meskipun hampir semua bilangan merupakan rambang, nir ada sistem formal aksiomatis yg akan memungkinkan kita buat menerangkan liputan ini.
Selanjutnya, Peterson, I., 1998, menyimpulkan bahwa pekerjaan Chaitin ini memberitahuakn bahwa ada jumlah tidak terbatas pernyataan matematika di mana seorang bisa membuat, katakanlah, aritmatika yg tidak dapat direduksi sebagai aksioma aritmatika, jadi nir ada cara buat menerangkan apakah pernyataan tadi sahih atau galat dengan memakai aritmatika; dalam pandangan Chaitin ini, itu praktis sama menggunakan berkata bahwa struktur aritmatika merupakan acak. Chaitin menyimpulkan bahwa struktur matematika adalah fakta matematis yang analog dengan hasil berdasarkan sebuah lemparan koin dan kita tidak pernah mampu sahih-sahih menunjukan secara logis apakah itu adalah benar, beliau menambahkan bahwa menggunakan cara yang sama bahwa tidak mungkin buat memprediksi waktu yang tepat di mana seorang individu yang terkena radiasi atom mengalami peluruhan radioaktif. Matematika tak berdaya untuk menjawab pertanyaan eksklusif, sedangkan fisikawan masih dapat menciptakan prediksi yang dapat diandalkan mengenai homogen-rata lebih dari akbar berdasarkan atom, pakar matematika mungkin dalam beberapa perkara terbatas dalam pendekatan yg sama; yg membuat matematika jauh lebih berdasarkan ilmu pengetahuan eksperimental.
Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, memiliki interpretasi yg tidak sinkron dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi pada arti istilah yg kaku menentukan arti menurut definienda menggunakan cara yg unik . Sistem yg lebih luas berdasarkan itu Peano postulat yang diperoleh masih belum lengkap pada arti bahwa nir setiap sapta memiliki akar kuadrat, serta lebih umum, tidak setiap persamaan aljabar memiliki solusi pada sistem; ini memberitahuakn bahwa ekspansi lebih lanjut dari sistem bilangan dengan sosialisasi bilangan real dan akhirnya kompleks. Hempel menyimpulkan bahwa dalam dasar menurut dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai bisa didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral bisa diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini bisa dibuktikan, sebagai akibatnya akhirnya sistem akbar matematika seperti pada sini dibatasi bertumpu pada dasar yg sempit dari sistem Peano itu; setiap konsep matematika dapat didefinisikan dengan memakai 3 unsur primitif berdasarkan Peano, serta setiap proposisi matematika bisa disimpulkan menurut 5 postulat yang diperkaya sang definisi dari non-primitif tersebut, langkah penyederhanaan, pada poly kasus, dengan cara nir lebih menurut prinsip-prinsip nalar formal; bukti beberapa theorems mengenai sapta real, bagaimanapun, memerlukan satu asumsi yg umumnya nir termasuk pada antara yang terakhir serta ini adalah aksioma yg dianggap pilihan pada mana ia menyatakan bahwa terdapat himpunan-himpunan saling eksklusif, tidak terdapat yg kosong, ada setidaknya satu himpunan yang mempunyai sempurna satu elemen yang sama menggunakan masing-masing himpunan yg diberikan.
Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa dari prinsip dan aturan akal formal, isi semua matematika dapat diturunkan menurut sistem sederhana Peano ini yaitu prestasi yg luar biasa dan sistematis, isi matematika dan penerangan dasar-dasar yang validitas. Menurut beliau, sistem Peano memungkinkan interpretasi yg tidak sama, sedangkan pada sehari-hari juga pada bahasa ilmiah, bisa dikembangkan buat arti spesifik untuk konsep aritmatika. Hempel bersikeras bahwa jika karena itu matematika merupakan menjadi teori yg sahih berdasarkan konsep-konsep matematika dalam arti yang dimaksudkan, nir relatif buat validasi buat memperlihatkan bahwa semua sistem adalah diturunkan berdasarkan Peano mendalilkan kecocokan definisi, melainkan, kita harus bertanya lebih jauh apakah postulat Peano sebenarnya benar saat unsur primitif dipahami dalam arti sekedar menjadi norma. Jika definisi di sini ditandai secara hati-hati dan ditulis yaitu bahwa hal ini merupakan galat satu perkara di mana teknik-teknik simbolik, atau matematika, serta akal membuktikan bahwa definiens dari setiap satu dari mereka secara eksklusif mengandung istilah menurut bidang nalar murni.
Hempel, CG, 2001, menyatakan bahwa sistem mandiri yang stabil mengenai prinsip dasar merupakan ciri khas berdasarkan teori matematika; model matematika dari beberapa proses alami atau perangkat teknis dalam dasarnya merupakan sebuah contoh yang yg stabil tentang yg bisa diselidiki secara independen berdasarkan "aslinya "serta, menggunakan demikian, kemiripan model dan" asli "hanya sebagai terbatas, hanya model tadi dapat diselidiki oleh matematikawan. Hempel berpikir bahwa setiap upaya buat menyempurnakan model yaitu buat membarui definisi buat menerima kecenderungan lebih menggunakan "orisinil", menunjuk ke contoh baru yg wajib permanen stabil, buat memungkinkan penyelidikan matematika, dengan itu, teori-teori matematika adalah bagian dari ilmu kita yang bisa secara terus melakukannya apabila kita bangun. Hempel menyatakan bahwa contoh matematika tidak terikat dengan ke "aslian" sumbernya; akan tetapi terlihat bahwa beberapa contoh dibangun dengan tidak baik, pada arti korespondensi buat "aslian" sumber mereka, namun yang matematikawan investigasi berlangsung menggunakan sukses. Menurut dia, semenjak model matematis didefinisikan dengan tepat, "tidak perlu lagi " "keaslian" nya sumber lagi. Satu bisa membarui contoh atau memperoleh beberapa contoh baru nir hanya buat kepentingan korespondensi dengan sumber "orisinil", namun pula buat percobaan belaka. Dengan cara ini orang dapat memperoleh berbagai contoh dengan mudah yg nir memiliki "asal asli" nya, yaitu sebuah cabang matematika yang telah dikembangkan yang nir mempunyai dan nir dapat mempunyai aplikasi buat masalah yg nyata.
Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, pada matematika, teorema dari teori apapun terdiri menurut dua bagian - premis dan konklusi, karenanya, konklusi menurut teorema berasal tidak hanya menurut himpunan aksioma, tetapi jua berdasarkan premis yang khusus untuk teorema eksklusif; serta premis ini bukan perpanjangan menurut sistemnya. Dia menyadari bahwa teori-teori matematika yg terbuka buat gagasan-gagasan baru, dengan demikian, pada Kalkulus selesainya konsep kontinuitas terhubung maka berikut diperkenalkan: titik diskontinyu, kontinuitas, kondisi Lipschitz, dll dan semua ini tidak bertentangan menggunakan tesis tentang karakter aksioma, prinsip serta anggaran inferensi, tetapi nir memungkinkan "matematika bekerja" dengan menganggap teori-teori matematika sebagai yang sesuatu tetap. Kemerling, G., 2002, menyebutkan bahwa pada pergantian abad kedua puluh, filsuf mulai mencurahkan perhatian terhadap dasar-dasar sistem logis dan matematis, karena dua ribuan tahun akal Aristotelian tampak penerangan yang lengkap dan final menurut logika manusia, tetapi geometri Euclid juga tampaknya kondusif, hingga Lobachevsky serta Riemann menampakan bahwa konsepsi cara lain nir hanya mungkin namun berguna dalam poly aplikasi. Dia menyatakan bahwa upaya-upaya serupa buat berpikir ulang struktur akal mulai akhir abad kesembilan belas di mana John Stuart Mill mencoba buat mengembangkan sebuah rekening komprehensif pemikiran manusia yg difokuskan dalam induktif daripada penalaran deduktif; bahkan penalaran matematika, John Stuart Mill seharusnya, bisa berdasarkan dalam pengamatan realitas. Kemerling summep up yg poly filsuf serta matematikawan Namun, mengambil pendekatan yang tidak sama.
Ia menjelaskan bahwa Logika merupakan studi tentang kebenaran yg diharapkan dan metode sistematis buat mengekspresikan dengan kentara dan rigourously menunjukkan kebenaran tadi; logicism adalah teori filsafat mengenai status kebenaran matematika, yakni, bahwa mereka secara logis diharapkan atau analitik. Disarankan bahwa buat memahami akal pertama-tama perlu buat memahami perbedaan krusial antara proposisi kontingen, yang mungkin atau mungkin tidak benar, serta proposisi perlu, yang tidak mampu keliru; nalar merupakan bukti buat membangun, yg memberikan kita konfirmasi yang dapat diandalkan kebenaran proposisi terbukti. Logika bisa didefinisikan sebagai bersangkutan menggunakan metode buat penalaran. Sistem logical kemudian formalisations satu metode yg sempurna dan kebenaran logis merupakan mereka dibuktikan menggunakan metode yg benar. Kebenaran-kebenaran matematika karenanya kontingen, namun untuk logicism, kebenaran matematika merupakan sama pada seluruh kemungkinan global, karena mereka nir tergantung pada keberadaan himpunan, hanya dalam konsistensi asumsi bahwa himpunan yang dibutuhkan terdapat; semenjak sahih dalam himpunaniap dunia yang mungkin, matematika harus logis diperlukan.
Shapiro, S., 2000, bersikeras bahwa, logika merupakan cabang kedua matematika serta cabang filsafat; bahasa formal, sistem deduktif, serta contoh-teori semantik merupakan objek matematika serta, dengan demikian, ahli akal yg tertarik pada mereka matematika sifat serta interaksi. Menurut Shapiro, nalar merupakan studi mengenai penalaran yang benar, serta penalaran adalah kegiatan, epistemis mental, serta karena itu menimbulkan pertanyaan mengenai relevansi filosofis aspek matematis menurut logika; bagaimana deducibility serta validitas, menjadi properti bahasa formal, berhubungan dengan penalaran yg sahih, apa output matematika dilaporkan pada bawah ini ada hubungannya dengan masalah filosofis asli. Beberapa filsuf menyatakan bahwa kalimat deklaratif bahasa alam sudah mendasari bentuk logis dan bahwa bentuk-bentuk yang ditampilkan oleh formula bahasa formal. WVO Quine menyatakan bahwa bahasa alam wajib teratur, dibersihkan untuk pekerjaan ilmiah dan metafisik yang serius, keliru sesuatu yg diinginkan perusahaan adalah bahwa struktur logis pada bahasa diperintah wajib transparan. Oleh karena itu, bahasa formal adalah contoh matematika dari bahasa alami, sebuah bahasa formal menampilkan fitur tertentu menurut bahasa alam, atau idealisasi berdasarkan padanya, ad interim mengabaikan atau menyederhanakan fitur lainnya. Shapiro menyatakan bahwa tujuan dari contoh matematika merupakan buat mengungkapkan apa yang mereka model, tanpa menjamin bahwa model tersebut akurat pada seluruh hal atau bahwa model harus mengubah apa itu model.
Kemerling, G. 2002, menjelaskan bahwa klimaks berdasarkan pendekatan baru buat logika terletak pada kapasitasnya buat menerangi sifat penalaran matematika, sedangkan kaum idealis berusaha buat membicarakan hubungan internal dari empiris absolut dan pragmatis ditawarkan untuk memperhitungkan insan Permintaan menjadi pola longgar investigasi, ahli nalar baru berharap buat memberitahuakn bahwa interaksi paling signifikan antara dapat dipahami sebagai murni formal dan eksternal. Kemerling mencatat bahwa matematikawan seperti Richard Dedekind menyadari bahwa atas dasar ini dimungkinkan buat membangun matematika tegas menggunakan alasan logis, sedangkan Giuseppe Peano sudah menunjukkan dalam 1889 bahwa seluruh aritmatika bisa dikurangi ke sistem aksiomatis menggunakan hati-hati dibatasi himpunan awal mendalilkan . Pada sisi lain, Frege segera berusaha buat mengekspresikan mendalilkan pada notasi simbolik temuannya sendiri, dan dengan 1913, Russell serta Whitehead sudah menyelesaikanmonumental Principia Mathematica (1913), menggunakan 3 volume akbar untuk berkecimpung berdasarkan sebuah aksioma logis saja melalui definisi nomor bukti bahwa "1 + 1 = 2." Kemerling menyatakan bahwa meskipun karya Gödel dibuat menghapus keterbatasan menurut pendekatan ini, signifikansi bagi pemahaman kita tentang akal dan matematika tetap undimmed.
Pietroski, P., 2002, bersikeras yg menarik bagi bentuk logis timbul dalam konteks upaya buat berkata lebih banyak mengenai perbedaan antara kesimpulan intuitif paripurna, yg mengundang metafora keamanan serta kedekatan, dan kesimpulan yang melibatkan risiko tergelincir menurut kebenaran kepalsuan . Dia menyatakan bahwa pemikiran antik adalah bahwa kesimpulan tanpa cela menerangkan pola yang bisa dicirikan oleh skema abstrak menurut isi tertentu berdasarkan tempat tertentu serta konklusi, menggunakan demikian mengungkapkan bentuk umum beserta poly kesimpulan paripurna lainnya; bentuk misalnya, bersama dengan konklusi bahwa model mereka, dikatakan valid. Pietroski diuraikan konklusi Stoik mencerminkan bentuk tak berbentuk: bila pertama lalu yg ke 2, dan yang pertama, maka yg kedua. Oleh karena itu, Stoik dirumuskan yaitu skemata lain yang valid. Apabila pertama lalu yg ke 2, namun nir yg ke 2, jadi bukan yg pertama; Entah pertama atau ke 2, tetapi nir yg kedua, jadi yg pertama, serta jelek yg pertama serta ke 2, akan tetapi yg pertama, sehingga tidak yang kedua .
Pietroski, P., 2002, menyatakan bahwa formulasi skema logis memerlukan variabel dalam proposisi; proposisi merupakan istilah seni buat apapun variabel di atas direpresentasikan dalam aneka macam berani lebih dan dengan demikian merupakan hal-hal yg mampu benar atau galat, karena mereka merupakan tempat potensial / yaitu konklusi. Hal yg bisa mencari dalam konklusi yang valid. Dia menyampaikan bahwa kesimpulan dapat sebagai proses mental dimana pemikir menarik konklusi menurut beberapa loka, atau proposisi pemikir akan mendapat mungkin sementara atau hipotetis apabila beliau mendapat lokasi dan kesimpulan, dengan satu proposisi ditunjuk menjadi konsekuensi dugaan orang lain. Dia mencatat bahwa tidak kentara bahwa semua kesimpulan paripurna adalah model berdasarkan beberapa bentuk yang valid, dan dengan demikian kesimpulan yg impeccability merupakan karena bentuk proposisi-proposisi yg relevan, tetapi pikiran ini menjabat sebagai ideal untuk studi inferensi, himpunanidaknya sejak pengobatan Aristoteles tentang model seperti. Menurut dia, Aristoteles membahas banyak sekali kesimpulan tertentu, yang dianggap silogisme, yaitu melibatkan quantificational proposisi. Ditunjukkan dengan kata-istilah seperti "setiap 'dan' beberapa”.
Pietroski, P., 2002, memakai terminologi yang sedikit berbeda bahwa teoretikus lain memperlakukan seluruh elemen generik menjadi predikat, dan proposisi menggunakan struktur eksklusif serta dikatakan memiliki bentuk kategoris sebagai berikut: subyek-kata kerja penghubung-predikat, dimana sebuah istilah kerja penghubung, ditunjukkan menggunakan kata-istilah misalnya 'merupakan' atau 'merupakan', link subjek yang terdiri berdasarkan pembilang dan predikat buat predikat, tetapi dengan merumuskan banyak sekali schemata inferensi Aristotelian, menggunakan analisis proposisi kompleks, infererences paripurna banyak yg terungkap menjadi kasus bentuk silogisme valid. Pietroski menyatakan bahwa para ahli akal abad pertengahan membahas interaksi akal buat tata bahasa, beliau membedakan bahwa bahasa yang diucapkan wajib menutupi aspek-aspek eksklusif berdasarkan struktur logis serta mempunyai struktur; mereka terdiri, dengan cara yg sistematis, menurut kata-istilah; dan asumsi adalah bahwa kalimat mencerminkan aspek primer bentuk logis, termasuk subjek-predikat struktur. Dia mengakui bahwa menjelang akhir abad kedelapan belas, Kant bisa menyampaikan tanpa hiperbola bahwa poly akal mengikuti jalur tunggal sejak awal, serta bahwa semenjak Aristoteles itu nir wajib menelusuri balik satu langkah. Menurut beliau, Kant berkata bahwa akal silogisme merupakan buat seluruh tampilan lengkap serta sempurna.
Hanya terdapat 3 istilah pada silogisme, karena kedua kata pada kesimpulan telah pada premisnya, dan satu kata umum bagi kedua premisnya. Ini menunjuk dalam definisi berikut: predikat dalam kesimpulan dianggap suku utama, subjek pada konklusi dianggap suku kecil; istilah umum dianggap term tengah, sedangkan premis yang mengandung kata primer dianggap premis utama; serta premis yg mengandung istilah minor dianggap premis minor. Silogisme selalu ditulis premis mayor, premis minor, konklusi, melainkan terbatas dalam argumen silogisme, dan tidak bisa mengungkapkan kesimpulan umum yang melibatkan beberapa argumen. Hubungan serta bukti diri harus diperlakukan sebagai hubungan subjek-predikat, yg membuat pernyataan identitas matematika sulit buat ditangani, dan tentu saja kata tunggal serta proposisi tunggal.
Pietroski, P., 2002, mengungkapkan bahwa dengan demikian, orang mungkin menduga bahwa terdapat nisbi sedikit disimpulkan pola dasar, beberapa konklusi bisa mencerminkan transisi melekat menarik pada pikiran; jelas bahwa para pakar nalar berhak buat mengambil anggaran inferensi dari B 'apabila A , serta A, maka B 'menjadi sesuatu yg aksiomatis, dan namun, berapa banyak anggaran yg wajar dipercaya sebagai fundamental dalam pengertian ini? Dia berpendapat bahwa keanggunan teoritis serta teori-teori yang mendukung penerangan mendalam dengan asumsi tereduksi sedikit, serta geometri Euclid telah lama menyediakan model buat bagaimana menyajikan obyek pengetahuan menjadi jaringan proposisi yang mengikuti menurut aksioma dasar beberapa, serta buat beberapa alasan, dasar pertanyaan memainkan peran krusial dalam logika abad kesembilan belas dan matematika. Pietroski mengambil karya Boole dan lain-lain buat menerangkan bahwa kemajuan dalam hal ini merupakan mungkin sehubungan dengan konklusi logika yang melibatkan variabel proposisional; namun silogisme permanen nir dapat disatukan dan nir lengkap, yang berhubungan dengan alasan lain menurut gagalnya nalar tradisional / tata bahasa.
Dalam pengembangan matematika terbaru, notasi Frege didesain pertama yg cocok buat membentuk matematika formal. Notasi yg lebih presisi memungkinkan Russell buat menemukan kelemahan dalam penalaran yang mereka dukung, yang dikenal sebagai paradoks Russell. Hal ini dalam gilirannya mendorong perkembangan lebih lanjut pada pemahaman kita mengenai teori formal, khususnya, mereka menghasilkan axiomatization teori himpunan yang didukung oleh intuisi semantik yg merupakan iteratif konsepsi yang ditetapkan. Hal utama menurut metode analisis logis formal adalah penggunaan contoh matematika buat menjabarkan arti berdasarkan konsep yg dipertimbangkan; ini membawa unsur semantik ke latar depan serta mendorong pengakuan bahwa waktu kita ingin menggunakan bahasa secara tepat kita harus menentukan arti yang sempurna pula, menggunakan menganggap bahwa makna yang tepat yg bisa didapatkan menurut preseden, dapat dilakukan.
Pada sisi lain, Kemerling, G., 2002, menyatakan bahwa William Hamilton menyarankan bahwa kuantifikasi predikat terkandung dalam proposisi kategoris tradisional mungkin mengizinkan interpretasi aljabar yg isinya merupakan pernyataan eksplisit menurut bukti diri; pandangan ini didorong Augustus De Morgan yang mengusulkan aktualisasi diri simbolis berdasarkan kopula sebagai hubungan logis murni, yang resmi mendapatkan fitur pada konteks yang berbeda poly. Dia mencatat bahwa Teorema De Morgan sama baiknya untuk himpunan irisan, himpunan campuran, dan dalam logika serta disjungsi, De Morgan pula menjelajahi gagasan Laplace probabilitas menjadi derajat keyakinan rasional yg mampu jatuh antara kepastian sempurna menurut kebenaran atau kepalsuan. Selanjutnya, Kemerling menyebutkan bahwa George Boole merampungkan transformasi ini menggunakan secara eksplisit serta menafsirkan nalar kategoris menggunakan referensi himpunan berdasarkan hal-hal dimana logis / himpunan-teoritis / matematika rekanan terus pada antara kelas tersebut bisa dinyatakan setidaknya jua dalam "aljabar Boolean". Kemerling mencatat bahwa Leonhard Euler, dan John Venn memberitahuakn, interaksi ini bisa direpresentasikan dalam diagram topografi, model fitur validitas yang formal;dan semua perkembangan ini mendorong para filsuf buat mempelajari isomorfisma logika serta matematika lebih dekat.
Ia mengungkapkan bahwa logika tradisional adalah kata yang longgar buat tradisi logis yang berasal dari Aristoteles serta poly berubah sampai munculnya logika predikat terkini di akhir abad kesembilan belas, dan asumsi mendasar pada akal tradisional merupakan bahwa proposisi terdiri dari dua kata dan bahwa proses penalaran dalam gilirannya dibangun dari proposisi; istilah merupakan bagian dari mewakili sesuatu, tetapi yang tidak sahih atau keliru dalam dirinya sendiri; proposisi terdiri dari dua kata, pada mana satu kata ditegaskan serta yang lainnya kebenaran atau kepalsuan; silogisme merupakan kesimpulan yg galat satu proposisi berikut kebutuhan menurut dua orang lain. Dalam logika , "proposisi" hanyalah sebuah bentuk bahasa: jenis kalimat tertentu, dalam subjek serta predikat digabungkan, sehingga buat menyatakan sesuatu benar atau salah , itu bukan pikiran, atau entitas yg tak berbentuk atau apapun; kata "propositio" asal berdasarkan bahasa Latin, yg berarti premis pertama dari silogisme. Aristoteles memakai premis kata (protasis) menjadi kalimat yang menegaskan atau menyangkal satu hal lain sebagai akibatnya premis pula adalah bentuk kata-kata. Namun, pada logika filsafat terbaru, kini berarti apa yang ditegaskan sebagai output berdasarkan mengucapkan kalimat, serta dianggap menjadi sesuatu yg aneh mental atau disengaja. Kualitas proposisi adalah apakah itu positif atau negatif. Dengan demikian "setiap orang merupakan fana" merupakan ya, karena "fana" ditegaskan berdasarkan "insan"; "Tidak ada laki-laki tak pernah mati" merupakan negatif, lantaran "abadi ditolak berdasarkan" manusia ", sedangkan, kuantitas proposisi merupakan apakah itu universal atau eksklusif.
Logika Aristoteles, pula dikenal sebagai silogisme, adalah jenis tertentu dari nalar yg dibentuk oleh Aristoteles, terutama dalam karya-karyanya Sebelum Analytics serta De Interpretatione, namun lalu dikembangkan menjadi apa yg dikenal menjadi nalar tradisional atau Logika Jangka. Aristoteles membuat 4 macam kalimat terukur, masing-masing yang mengandung subjek dan predikat: afirmatif yg universal yaitu S setiap P; yaitu negatif yg universal nir S adalah P; yaitu afirmatif eksklusif beberapa S merupakan P, serta negatif tertentu tidak setiap S merupakan P. Ada aneka macam cara buat menggabungkan kalimat tersebut ke pada silogisme, keduanya valid serta nir valid; pada zaman abad pertengahan, akal Aristotelian diklasifikasikan setiap kemungkinan serta memberi mereka nama. Aristoteles pula mengakui bahwa setiap jenis mempunyai kalimat, misalnya, kebenaran universal yg memerlukan sebuah afirmatif kebenaran afirmatif tertentu yg sinkron, serta kesalahan negatif yg sesuai negatif serta tertentu universal.
Moschovakis, J., 2002, bersikeras bahwa nalar intuitionistic meliputi prinsip-prinsip penalaran logis yang digunakan sang LEJ Brouwer pada mengembangkan matematika intuitionistic nya, secara filosofis, intuitionism tidak sama menurut logicism menggunakan memperlakukan nalar sebagai bagian berdasarkan matematika bukan sebagai dasar berdasarkan matematika ; dari finitism menggunakan memungkinkan penalaran mengenai koleksi tak terbatas, dan berdasarkan Platonisme dengan melihat objek matematika sebagai konstruksi mental yang tanpa keberadaan yg ideal independen. Moschovakis menyatakan bahwa program formalis Hilbert, buat membenarkan matematika klasik menggunakan mengurangi ke sistem formal yang konsistensi harus ditetapkan menggunakan cara finitistic, adalah saingan kontemporer paling digdaya buat intuitionism Brouwer 's berkembang. Pada tahun 1912 Intuitionism serta Formalisme Brouwer menggunakan tepat memprediksikan bahwa setiap upaya buat menunjukan konsistensi induksi lengkap mengenai bilangan alam akan mengakibatkan bundar setan.
Banyak filsuf sudah mengambil matematika sebagai kerangka berpikir pengetahuan, serta penalaran yg dipakai dalam mengikuti bukti matematika seringkali dipercaya sebagai lambang pemikiran rasional, tetapi matematika pula merupakan sumber yg kaya perkara filosofis yang menjadi sentra epistemologi serta metafisika semenjak awal filsafat Barat; pada antara yg paling krusial merupakan menjadi berikut: sapta nol serta entitas matematika lainnya terdapat secara independen berdasarkan kognisi manusia; apabila tidak maka bagaimana kita menyebutkan penerapan matematika yang luar biasa bagi ilmu pengetahuan serta urusan mudah?? Jika demikian maka apa hal yg mereka dan bagaimana kita bisa memahami tentang mereka;? Dan Apa interaksi antara matematika serta logika? (. Filsafat Matematika, //Googlesearch) Pertanyaan pertama adalah pertanyaan metafisik menggunakan kedekatan dekat menggunakan pertanyaan mengenai eksistensi entitas lain seperti universal, sifat serta nilai-nilai, sesuai dengan banyak filsuf, apabila entitas tadi terdapat maka mereka sebagai akibatnya di luar ruang dan saat, serta mereka nir mempunyai kekuatan kausal, mereka seringkali dianggap abstrak dibandingkan menggunakan entitas beton.
Jika kita mendapat eksistensi objek matematika abstrak maka epistemologi yg memadai matematika harus menyebutkan bagaimana kita sanggup memahami mengenai mereka, tentu saja, bukti sepertinya menjadi sumber utama pembenaran bagi proposisi matematika namun bukti bergantung dalam aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita sanggup memahami kebenaran menurut aksioma tetap. Hal ini biasanya berpikir bahwa kebenaran matematika merupakan kebenaran yg diharapkan, bagaimana lalu apakah mungkin bagi terbatas, makhluk fisik yg mendiami dunia yang kontingen memiliki pengetahuan tentang kebenaran tadi? Dua pandangan yang luas secara baik yaitu mungkin kebenaran matematika dikenal dengan alasan, atau mereka dikenal sang inferensi dari pengalaman sensorik. Pandangan rasionalis mantan diadopsi sang Descartes dan Leibniz yang juga berpikir bahwa konsep-konsep matematika adalah bawaan, sedangkan Locke serta Hume himpunanuju bahwa kebenaran matematika dikenal oleh logika tapi mereka pikir semua konsep-konsep matematika yang diperoleh abstraksi berdasarkan pengalaman; serta Mill adalah seseorang realitas lengkap mengenai matematika serta memegang kedua bahwa konsep-konsep matematika berasal menurut pengalaman serta juga bahwa kebenaran matematika merupakan sahih-benar generalisasi induktif dari pengalaman. Sementara itu, penemuan pada pertengahan abad kesembilan belas non-Euclidean geometri berarti bahwa filsuf dipaksa buat menilai balik status geometri Euclidean yg sebelumnya telah dipercaya menjadi contoh Shinning pengetahuan eksklusif di global, poly merogoh eksistensi non konsisten -Euclidean geometri menjadi penentangan secara eksklusif dari ke 2 Mill serta filsafat Kant mengenai matematika. Pada akhir abad kesembilan belas penyanyi telah ditemukan banyak sekali paradoks pada teori kelas dan terdapat sesuatu krisis dalam dasar matematika.
Pada awal abad kedua puluh kita melihat kemajuan besar pada matematika serta jua dalam logika matematika dan dasar matematika serta sebagian besar informasi-isu fundamental dalam filsafat matematika bisa diakses oleh siapa saja yg akrab menggunakan geometri serta aritmatika dan yg telah mempunyai pengalaman mengikuti matematika bukti. Namun, beberapa perkembangan filosofis paling penting menurut abad ke 2 puluh itu dipicu oleh perkembangan yg mendalam yg terjadi dalam matematika serta logika, dan apresiasi yang tepat menurut perkara ini hanya tersedia bagi seseorang yang mempunyai pemahaman tentang teori himpunan dasar serta menengah akal. Untuk membahas falsafah matematika pada taraf lanjutan yang sahih-benar wajib mengusut gagasan yang meliputi bukti dari teorema ketidaklengkapan Gödel 's serta membaca mengenai berbagai topik pada filsafat matematika. Nikulin, D., 2004, menjelaskan bahwa para ilmuwan kuno dan filsuf yang mengikuti program Platonis-Pythagoras, dirasakan bahwa matematika serta metode yang dapat dipakai buat mendeskripsikan alam. Menurut Plato, matematika bisa memberikan pengetahuan tentang engsel yg tidak mampu sebaliknya serta karena itu nir terdapat hubungannya dengan hal-hal fisik pernah lancar, mengenai yang hanya terdapat pendapat yang mungkin benar. Nikulin menyatakan bahwa Platonis hati-hati membedakan antara aritmetika dan geometri dalam matematika itu sendiri, sebuah rekonstruksi teori Plotinus 'dari angka, yg mencakup pembagian Plato an berdasarkan angka ke substansial dan kuantitatif, memperlihatkan bahwa angka yg terstruktur dan dipahami bertentangan dengan entitas geometris. Secara spesifik, nomor ini dibentuk menjadi kesatuan sintetis terpisahkan, unit diskrit, sedangkan objek geometris yg terus menerus dan nir terdiri menurut bagian tak terpisahkan.
Nikulin, D., 2004, menemukan bahwa Platonis dipercaya bahwa obyek matematika dipercaya entitas intermediate antara hal-hal fisik (obyek) dan niskala, hanya wajar, entitas (pengertian). Menurut dia, pada tradisi Platonis, kecerdasan, ditinjau dari kategori kehidupan, mampu hamil prinsip pertama; ditafsirkan menjadi serta aktualitas murni, intelek selanjutnya tersaji melalui perbedaan antara pikiran menjadi berpikir serta berpikir sebagai lumrah , sebagai objek pemikiran yg ada dalam komunikasi terganggu; dalam pemikiran, bertentangan diskursif, dalam dasarnya terlibat pada argumentasi matematis dan logis, tidak lengkap serta hanya parsial. Terus menerus dan tidak terdiri dari bagian tidak terpisahkan. Nikulin memperlihatkan bahwa buat Platonis alasan diskursif melakukan kegiatannya di sejumlah langkah berurutan dilakukan, karena, nir seperti intelek, tidak mampu mewakili obyek pemikiran secara keseluruhan dan kompleksitas yang unik dan menggunakan demikian wajib tahu bagian objek menggunakan sebagian, dalam urutan eksklusif. Sementara, Folkerts, M., 2004, menampakan bahwa Platonis percaya bahwa realitas tak berbentuk merupakan kenyataan. Dengan demikian, mereka nir mempunyai masalah menggunakan kebenaran karena objek di bagian ideal matematika memiliki sifat. Sebaliknya Platonis mempunyai masalah epistemologis - seseorang bisa mempunyai pengetahuan mengenai objek di bagian ideal matematika, mereka tidak dapat menimpa pada alat kita dengan cara apapun.
Ini mungkin bahwa selama bagian tengah abad ini ada didirikan untuk ad interim saat penasaran stand-off; saat ini baik logicism dan Formalisme ditahan telah gagal, output ketidaklengkapan Gödel 's sudah ikut berperan pada kedua perkara, akan tetapi intuitionism permanen utuh , maka secara filosofis intuitionism sebagai hal utama. Hebat matematika di sisi lain, sepanjang mereka menganggap hal ini, mungkin tetap fomalist atau logicist dalam kesamaan, dalam paruh ke 2 tekanan dalam abad ini paradigma klasik sudah berkembang dari beberapa sumber. Untuk perbedaan pendapat para filsuf telah dibubuhi perbedaan pendapat menurut ahli matematika yg sudah menemukan kesalahan dengan teori himpunan klasik sebagai sebuah yayasan, atau yg meragukan perlunya mempunyai dasar sama sekali; ilmu personal komputer semakin teoritis sudah memasuki arena ini, serta telah cenderung pengaruh radikal. (-----, 1997, Kategori Teori dan Dasar-dasar Matematika RBJ, //www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm)
Istilah "dasar atau landasan matematika" kadang-kadang dipakai buat bidang eksklusif berdasarkan matematika itu sendiri, yaitu buat akal matematika, teori himpunan aksiomatik, teori bukti dan teori model; pencarian dasar matematika Adalah jua pertanyaan sentral menurut filosofi matematika: atas dasar apa dapat laporan utama matematika diklaim "benar"? Paradigma matematika saat ini secara umum dikuasai berdasarkan pada teori himpunan aksiomatik dan akal formal; semua teorema matematika hari ini bisa dirumuskan menjadi teorema teori disusun; kebenaran pernyataan matematika, pada pandangan ini, lalu apa-apa kecuali klaim bahwa pernyataan itu dapat berasal dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan nalar formal. Namun, pendekatan formalistik nir menyebutkan beberapa info seperti mengapa kita wajib menggunakan aksioma yg kita lakukan serta bukan orang lain, mengapa kita harus menggunakan anggaran nalar yang kita lakukan serta bukan lainnya, mengapa "sahih" pernyataan matematika sepertinya benar pada dunia fisik; dimana Wigner disebut ini menjadi efektivitas yg tidak lumrah matematika dalam ilmu ekamatra. -----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia bebas. //en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL.
Kita mungkin mempertanyakan apakah mungkin bahwa seluruh pernyataan matematika, bahkan kontradiksi, bisa diturunkan dari aksioma-aksioma teori mengatur, apalagi, menjadi konsekuensi menurut teorema ketidaklengkapan Gödel kedua, kita tidak pernah sanggup yakin bahwa ini tidak terjadi. Selanjutnya, dia menyebutkan bahwa dalam realisme matematika, kadang-kadang disebut Platonisme, keberadaan global objek matematika independen menurut manusia ini mendalilkan; kebenaran tentang obyek ditemukan sang manusia, pada pandangan ini, hukum alam dan hukum-aturan matematika mempunyai status yg sama, serta "efektivitas" berhenti sebagai "masuk akal" dan nir aksioma kita, namun global yg sangat konkret dari objek matematika menciptakan yayasan. Ia menjelaskan bahwa pertanyaan yang kentara, lalu, adalah: bagaimana kita mengakses dunia ini, beberapa teori terbaru dalam filsafat matematika menyangkal eksistensi yayasan dalam arti asli; beberapa teori cenderung berfokus pada praktek matematika, dan bertujuan buat? Menggambarkan dan menganalisis kerja aktual yg hebat matematika sebagai grup sosial, sedangkan, yg lain mencoba buat menciptakan ilmu pengetahuan kognitif matematika, menggunakan penekanan pada kognisi manusia menjadi berasal menurut keandalan matematika ketika diterapkan pada 'dunia konkret', dan karenanya, ini teori akan mengusulkan untuk menemukan dasar hanya pada pemikiran manusia, nir pada 'tujuan' di luar konstruk. Singkatnya, masalah ini masih kontroversial. (-----, 1997, Dasar-dasar matematika Wikipedia, ensiklopedia bebas. Http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_FDL)
Podnieks, K, 1992, berpendapat apakah matematika hanya sebuah ilmu pengetahuan tak berbentuk dengan definisi yang ketat yang hanya kasus pembuktian dan kejam, atau tentang global fisik tapi kita wajib belajar bagaimana memakai teori yang sempurna tentang apa yang kita rasakan pada yg kita perlu teori intuisi buat memungkinkan kita buat menjaga bagian infinitary matematika. Ia memberitahuakn bahwa pada matematika, ini, diakui bahwa perkara muncul lantaran kejelasan un-yang hebat matematika mempunyai sekitar hubungan antara metode geometris dan metode numerik; metode geometris yang memungkinkan sangat kecil terlalu tidak sempurna dan ini mengakibatkan sosialisasi aritmatika teknik buat mengusut analisis sangat kecil buat memberikan kekakuan yg pulang ke pandangan baru-inspirasi Pythagoras. Sementara Kalderon, ME, 2004, menyatakan bahwa buat mengembalikan "baku Euclidean lama kekakuan" dengan memberikan bukti jelas klaim aritmatika yg memenuhi dua kondisi bahwa asumsi himpunaniap eksplisit dinyatakan, dan himpunaniap transisi inferensial merupakan sinkron dengan anggaran mengakui . Dia mengatakan bahwa dorongan baru berdasarkan kekakuan pada geometri dan analisis yang sudah menuai berbuah menggunakan mengungkapkan "batas berlaku" theorems penting, menggunakan membuat eksplisit prinsip-prinsip bisa disimpulkan bahwa secara tersirat memandu penilaian kita kita bisa sampai dalam metode generik pembentukan konsep yang dapat membantu kita buat memecahkan pertanyaan matematika terbuka. Kalderon menjamin bahwa dengan mengurangi jumlah evaluasi yang diterima tanpa bukti kita mencapai ekonomi teoritis yg berharga, bahkan jika kebenaran adalah kentara masih merupakan muka matematis buat membuktikannya.
Kalderon, ME, 2004, beropini apakah titik proyek Frege buat pertanda yang sudah jelas atau tidak, apa merupakan status epistemologis kebenaran matematika;? Mereka analitik apriori, sintetik apriori, atau sintetik aposteriori;? Dan bagaimana adalah angka yg diberikan pada kami; bagaimana media Kant sensibilitas dan menengah Frege nalar? Menurut dia, keputusan matematika merupakan analitik hanya pada perkara konsep subjek berisi konsep predikat, serta penilaian matematika adalah analitik hanya dalam perkara penolakan adalah kontradiksi-diri. Menurut Kalderon, Kant menganggap konsep sebagai melibatkan check list fitur, konsep empiris adalah konsep macam hal encounterable pada pengalaman mana untuk sebagai jenis yang relevan menurut hal adalah memiliki fitur secara empiris dapat diamati, F1, F2, ..., Fn, yang secara logis independen, karena itu, penghakiman merupakan analitik hanya dalam masalah daftar fitur yg herbi konsep predikat adalah bagian menurut daftar fitur yg berhubungan dengan konsep subjek. Kalderon mencatat bahwa Kant menulis seolah-olah konsep selalu konsep khusus encounterable; ia nir membuat tunjangan untuk konsep relasional atau buat konsep hal yang nir teramati dan fitur dalam daftar tadi yg seharusnya secara logis independen, tetapi tidak semua konsep empiris sesuai pola ini dan nir semua konsep memiliki daftar fitur.
Kant, 1787, beropini bahwa matematika merupakan produk murni alasan, dan terlebih lagi merupakan benar-sahih kimis, dia menemukan bahwa seluruh kognisi matematika mempunyai keganjilan ini serta pertama kali wajib memberitahuakn konsep dalam bisikan hati visual dan memang apriori, sang karena itu pada bisikan hati yg tidak realitas, namun murni; tanpa ini, matematika tidak bisa merogoh satu langkah, oleh karena keputusan-keputusannya selalu visual, yaitu, intuitif;. Sedangkan filsafat wajib puas menggunakan penilaian diskursif berdasarkan konsep-konsep belaka, serta meskipun mungkin mendeskripsikan doktrin-doktrinnya melalui sosok visual, tidak pernah bisa memperoleh mereka menurut itu. Di sisi lain, Kant menjamin bahwa intuisi realitas memungkinkan kita tanpa kesulitan untuk memperbesar konsep yg kita bingkai dari suatu obyek dari bisikan hati, dengan predikat baru, yg intuisi itu sendiri menyajikan secara sintetis dalam pengalaman, sedangkan intuisi murni melakukannya jua, hanya dengan perbedaan ini , bahwa pada masalah terakhir penghakiman kimis merupakan apriori tertentu serta apodeictical, dalam, mantan hanya posteriori dan empiris eksklusif; lantaran yang terakhir ini hanya berisi apa yg terjadi dalam intuisi realitas kontingen, namun yang pertama, yg tentu harus ditemukan dalam intuisi murni. Menurut Kant, lantaran bisikan hati adalah suatu representasi menjadi segera tergantung pada keberadaan objek, sepertinya tidak mungkin buat bisikan hati dari awal apriori, karena bisikan hati akan pada acara yang berlangsung tanpa baik mantan atau benda hadir buat merujuk buat, serta sang konsekuensi nir mampu intuisi.
Selanjutnya, Kant, 1787, beropini bahwa bisikan hati matematika murni yang meletakkan pada dasar menurut semua kognisi dan evaluasi yg ada sekaligus apodiktis dan diperlukan adalah Ruang dan Waktu, karena matematika wajib terlebih dahulu mempunyai semua konsep pada bisikan hati, dan matematika murni bisikan hati murni, maka, matematika harus menciptakan mereka. Menurut Kant, Geometri didasarkan dalam bisikan hati murni ruang, dan, aritmatika menuntaskan konsep angka dengan penambahan berurutan dari unit dalam ketika; serta mekanik murni terutama nir dapat mencapai konsep mobilitas tanpa menggunakan representasi saat. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni, menjadi kognisi kimis apriori, hanya mungkin dengan mengacu ada benda selain yang indra, pada mana, pada dasar intuisi realitas mereka terletak sebuah intuisi murni (ruang serta saat) yang apriori. Kant menggambarkan bahwa pada prosedur biasa serta perlu geometers, semua bukti kesesuaian lengkap menurut 2 angka yg diberikan akhirnya datang ini bahwa mereka mungkin dibentuk bertepatan; yang ternyata tidak lain proposisi kimis beristirahat pada intuisi langsung, dan intuisi ini wajib murni, atau diberikan secara apriori, jika proposisi nir dapat peringkat menjadi apodictically tertentu, tetapi akan memiliki kepastian empiris saja. Kant selanjutnya menyimpulkan bahwa dasar matematika sebenarnya bisikan hati murni, sedangkan deduksi transendental mengenai konsep-konsep ruang serta ketika menjelaskan, dalam waktu yg sama, kemungkinan matematika murni.
Kant, 1787, menyatakan bahwa penilaian Matematika seluruh kimis dan dia berpendapat bahwa kabar ini sepertinya sampai kini telah sama sekali lolos berdasarkan pengamatan mereka yang sudah dianalisis nalar insan; bahkan tampaknya eksklusif menentang seluruh dugaan mereka, meskipun tak diragukan tertentu, dan yang paling penting pada konsekuensinya. Lebih lanjut ia menyatakan bahwa buat waktu ditemukan bahwa konklusi yang hebat matematika seluruh berjalan sinkron aturan kontradiksi misalnya yang dituntut sang semua kepastian apodiktis, laki-laki meyakinkan dirinya sendiri bahwa prinsip-prinsip dasar yang dikenal menurut hukum yg sama. "Ini adalah kesalahan besar ", katanya. Dia kemudian membicarakan alasan bahwa buat proposisi sintetis memang bisa dipahami menurut hukum kontradiksi, tetapi hanya menggunakan mengandaikan lain proposisi sintetis berdasarkan yg berikut, namun nir pernah pada dirinya sendiri. Kant mengemukakan bahwa semua prinsip-prinsip geometri tidak kurang analitis, dia mengklaim bahwa atribut sesak karena itu sama sekali tambahan, serta tidak dapat diperoleh sang himpunaniap analisis konsep, dan visualisasi yang wajib tiba untuk membantu kita, serta oleh karenanya saja menciptakan sintesis mungkin. Kant berusaha buat menunjukkan bahwa dalam kasus proposisi identik, sebagai metode Rangkaian, dan bukan sebagai prinsip, e. G., a = a, keseluruhan adalah sama dengan dirinya, atau a + b> a, keseluruhan lebih besar dari bagiannya dan menyatakan bahwa meskipun mereka diakui menjadi absah berdasarkan konsep-konsep belaka, mereka hanya diperkenankan pada matematika, karena mereka dapat direpresentasikan pada bentuk visual.
Kalderon, ME, 2004, terpapar bahwa evaluasi analitik merupakan mereka yang menyangkal adalah kontradiksi-diri, serta karakterisasi ini merupakan hanya sebagai baik sebagai logika dasar, tetapi Kant masih menerima nalar usang yg diwarisi berdasarkan Aristoteles. Selanjutnya, Kalderon mengklaim bahwa karakterisasi penahanan konseptual hanya berlaku untuk evaluasi afirmatif universal, yaitu, penilaian dari bentuk "Semua Sebagaimana B.", Dan karakterisasi logis memiliki jangkauan yang lebih luas penerapannya lantaran tidak terbatas dalam afirmatif yang universal penilaian. Kalderon beropini bahwa reconstrual Frege menurut gagasan Kant mengenai analyticity sekaligus menuntaskan kesulitan serta menyatukan karakterisasi yang tidak selaras; kebenaran adalah analitik hanya pada masalah itu mampu diubah menjadi sebuah kebenaran logis sang substitusi sinonim untuk sinonim, sementara kebenaran logis merupakan kebenaran yg bisa dibuktikan dari logika saja. Kalderon mengklaim bahwa penolakan sebuah kebenaran logis merupakan kontradiksi-diri, sebagai akibatnya karakterisasi Frege merupakan himpunania menggunakan semangat karakterisasi logis; bahwa kebenaran logis datang pada melalui substitusi sinonim buat sinonim explicates metafora Kant penahanan konseptual. Kalderon lebih lanjut menegaskan bahwa sedangkan Kant menjamin bahwa penilaian analitik nir mampu memperpanjang klaim Frege pengetahuan yang mereka sanggup; berdasarkan Frege, disparitas ini disebabkan konsepsi miskin Kant mengenai pembentukan konsep diberikan kehimpunaniaan kepada akal lama .
Kalderon, ME, 2004, bersikeras bahwa konsep-konsep baru yg didapat dengan operasi persimpangan serta inklusi, dan diberikan nalar tua, membentuk konsep baru selalu masalah pemanfaatan batas-batas daerah yang ditetapkan sang konsep antecedently diberikan; serta Frege mempertahankan bahwa, mengingat akal barunya, terdapat kemungkinan menggambar batas-batas baru. Namun, mendefinisikan konsep-konsep baru menggunakan cara ini lisensi kita buat menarik kesimpulan bahwa kami tidak berlisensi buat menarik sebelumnya, sebagai akibatnya memperluas pengetahuan kita. Kalderon menyatakan bahwa S kebenaran apriori hanya bila terdapat bukti berdasarkan S yg nir bergantung dalam keterangan-informasi dasar mengenai objek eksklusif, yaitu, bila-kalau masih ada himpunanidaknya satu bukti S yang hanya melibatkan kebenaran umum sebagai tempat. Menurut Kalderon, Frege tampaknya sudah menaruh karakterisasi logis menurut apa yang sebelumnya sudah ditafsirkan menjadi gagasan epistemologis; Frege dirasakan bahwa pengetahuan aposteriori tergantung pada pengalaman buat pembenaran, serta itu hanya informatif bila pengalaman bisa ditentukan secara independen dari kiprah normatif . Kalderon mengklaim bahwa dasar matematika merupakan terutama karya matematika meskipun karakter informal. Dia mencatat bahwa Frege hanya menjawab pertanyaan filosofis konfigurasi ulang oleh mereka buat memiliki jawaban matematika, serta motivasi matematika Frege yang tidak orisinil dari baku akhir matematika abad ke-19 serta mungkin kebenaran adalah suatu tempat pada antara.
Kalderon, ME, 2004, menyatakan bahwa aritmetika merupakan analitik apriori; menjadi analitik, kebenaran aritmatika harus ditransformasikan ke dalam kebenaran logis sang substitusi sinonim untuk sinonim, dan buat bersikap apriori, kebenaran aritmatika harus mempunyai himpunanidaknya satu bukti berdasarkan loka murni generik. Kalderon menyatakan bahwa Frege harus melaksanakan proyek matematika buat menentukan apa aritmatika sejauh bisa dibuktikan menurut logika dan definisi saja. Di sisi lain, pada kaitannya menggunakan motivasi matematika, Kalderon bersikeras bahwa menemukan bukti mana bukti tersedia selalu kemajuan matematika bahkan bila batas-batas keabsahan teorema sahih-benar kentara dan teorema secara universal dianggap sebagai jelas. Menurut Kalderon, pada mengungkap dependensi logis antara pemikiran ilmu hitung, satu secara eksplisit mengartikulasikan konten mereka sebagai akibatnya memperjelas materi pelajaran aritmatika; buat dibenarkan pada pendapat matematika seorang merupakan buat membawa mereka sejalan dengan urutan ketergantungan objektivitas antara pemikiran ilmu hitung diungkapkan sang bukti matematis, karena itu, menemukan bukti mana bukti yg tersedia adalah kemajuan matematika sejauh pembenaran pendapat matematika tergantung di atasnya, yg pertama tergantung dalam klaim filosofis mengenai konten, yang kedua tergantung pada klaim filosofis mengenai pembenaran. Selanjutnya, Kalderon, ME, 2004, beropini bahwa masalah Frege buat klaim bahwa aritmatika adalah analitik apriori memiliki tiga komponen yg adalah argumen positif tunggal, sanggahan cara lain yg masih ada, yakni argumen terhadap Kant, dan definisi serta sketsa bukti Frege masalah di mana hanya akan selesai waktu definisi serta sketsa bukti secara formal dilaksanakan pada bahasa Begriffsschrift. Menurut Frege, kebenaran aritmatika mengatur semua yg dpt dihitung, ini adalah domain terluas menurut seluruh, lantaran buat itu milik nir hanya yang sebenarnya, nir hanya intuitable, akan tetapi masuk akal semuanya.
Brouwer lalu menyebarkan teori himpunan dan teori pengukuran serta teori fungsi, tanpa memakai prinsip dikecualikan tengah, dia merupakan yg pertama buat menciptakan sebuah teori matematika menggunakan akal selain yg umumnya diterima. (Http://home.mira.net/ ~ andy / karya / value.htm). Jadi, dia dikenal menjadi intuinists yang mengusulkan falsafah matematika tanpa dasar, sedangkan Kant sort untuk aritmatika dasar pada pengalaman saat dan geometri pada pengalaman ruang, Brouwer mencoba buat memperhitungkan seluruh matematika pada hal intuisi yaitu sadar pengalaman ketika. Intuitionism bentrok menggunakan matematika klasik sejauh Brouwer menyatakan bahwa nir ada kebenaran pada luar pengalaman, dan karena itu bahwa hukum tengah dikecualikan nir bisa diterapkan pada seluruh pernyataan matematika yaitu pada bagian infinitary tertentu matematika merupakan tak tentu berkaitan menggunakan beberapa sifat .
Bridges, D., 1997, menerangkan bahwa dalam filsafat Brouwer 's, matematika merupakan ciptaan bebas dari pikiran insan, serta objek ada bila dan hanya apabila dapat dibangun mental. Podnieks, K., 1992, menampakan bahwa Hilbert dalam tahun 1891 berhasil menghasilkan terus menerus, tetapi tidak satu-ke-satu, pemetaan menurut suatu segmen ke persegi panjang, serta disimpan gagasan dimensi menggunakan membuktikan bahwa Dedekind yang tepat yang terus menerus satu ke-satu korespondensi antara kontinum menurut dimensionalities tidak sama merupakan tidak mungkin. Podnieks, K., 1992, terkena pekerjaan Brouwer berdasarkan rangkaian hipotesa yg disebut, di mana menggunakan banyak sekali terbatas himpunan poin penyanyi memutuskan bahwa semua terbatas himpunan dia bisa membuat, terbagi dalam 2 kategori: himpunan dpt dihitung yaitu himpunan yg bisa dihitung menggunakan menggunakan bilangan orisinil serta himpunan yg himpunanara dengan semua kontinum yaitu himpunan seluruh bilangan real. Menurut Podnieks, penyanyi sendiri nir dapat membentuk himpunan "kekuatan menengah", himpunan terhitung yaitu titik yg nir himpunanara menggunakan seluruh kontinum, inilah mengapa beliau menganggap bahwa himpunan tersebut tidak terdapat serta dugaan ini dikenal menjadi kontinum hipotesis dari Brouwer yang himpunaniap rangkaian tidak terbatas poin baik adalah terhitung, atau himpunanara menggunakan semua kontinum.
Podnieks, K., 1992, bersikeras bahwa intuitionism memeluk dua teori filosofis penting yaitu Ajaran Brouwer yg sahih adalah sebagai berpengalaman, apapun terdapat berawal pada pikiran sadar kita. Menurut Brouwer, obyek matematika bersifat tak berbentuk, apriori, bentuk intuisi kita, Dia percaya bahwa pikiran hanya adalah miliknya sendiri, serta kurang peduli menggunakan antar-subjektivitas berdasarkan Immanuel Kant. Brouwer menolak klaim intuisi apriori ruang, melainkan ia berpikir matematika berdasarkan sepenuhnya pada bisikan hati apriori ketika. Menurut Posy, Brouwer percaya bahwa struktur pedoman ketika semua kegiatan sadar serta eksistensi non-Euclidean geometri melarang bisikan hati yg satu apriori ruang. Posy menjelaskan bahwa Brouwer harus merekonstruksi bagian-bagian tertentu berdasarkan matematika diberikan kendala sendiri. Program positif intuitionism merupakan konstruksi matematika menjadi dibatasi sang Teori Brouwer 's Kesadaran. Program negatif intuitionism beropini bahwa matematika baku sebenarnya galat atau paling nir konsisten. Brouwer tidak berpendapat bahwa matematika baku tidak konsisten; argumennya berdasarkan pada idealisme epistemologis nya. Brouwer menciptakan sedikit perbedaan antara Hilbert dan Platonis. Beberapa konstruksi Brouwer 's tergantung dalam asumsi bahwa apabila proposisi merupakan benar, kita bisa mengetahui bahwa itu sahih.
Godel, K., 1961, menyatakan bahwa matematika, dari sifatnya menjadi sebuah ilmu apriori, selalu sudah, dalam dan menurut dirinya sendiri dan, buat alasan ini, sudah lama bertahan semangat menurut waktu yg telah memerintah sejak yaitu Renaissance, teori empiris matematika; matematika telah berkembang sebagai abstraksi yang lebih tinggi, jauh dari kejelasan materi serta buat semakin besar pada fondasinya contohnya, menggunakan memberikan landasan yg tepat berdasarkan kalkulus dan sapta kompleks, dan dengan demikian, jauh menurut perilaku skeptis. Tetapi, kurang lebih pergantian abad, jam nya disambar antinomi teori himpunan, kontradiksi yg diduga muncul dalam matematika, yg krusial itu dibesar-besarkan oleh scepticist serta empirisis dan yg dipekerjakan menjadi alasan buat pergolakan ke kiri. Godel menyatakan bahwa, himpunanelah seluruh, apa kepentingan matematika merupakan apa yang dapat dilakukan, dalam kebenaran, matematika sebagai ilmu empiris, bila kita menerangkan berdasarkan aksioma sewenang-wenang mendalilkan bahwa himpunaniap sapta orisinil adalah jumlah dari empat kotak, tidak pada seluruh mengikuti dengan niscaya bahwa kita tidak akan pernah menemukan counter-model buat teorema ini, karena aksioma kami sanggup himpunanelah seluruh sebagai nir konsisten, dan kita bisa mengungkapkan bahwa itu berikut menggunakan probabilitas eksklusif, lantaran meskipun mutilasi banyak kontradiksi sejauh ini ditemukan. Menurut Godel, melalui konsepsi hipotetis matematika, poly pertanyaan yang kehilangan bentuk apakah proposisi A terus atau nir atau A atau ~ A.
Godel, K., 1961, berpendapat bahwa formalisme Hilbert mewakili baik menggunakan semangat ketika dan hakekat matematika pada mana, di satu sisi, sinkron menggunakan wangsit-pandangan baru yang berlaku pada filsafat dewasa ini, kebenaran dari aksioma menurut mana matematika mulai keluar nir bisa dibenarkan atau diakui menggunakan cara apapun, serta karena itu gambar konsekuensi menurut mereka memiliki makna hanya dalam pengertian hipotesis, dimana ini gambar menurut konsekuensi itu sendiri ditafsirkan sebagai permainan belaka menggunakan simbol menurut aturan eksklusif, juga tidak didukung sang wawasan. Lebih lanjut, Godel menjamin bahwa bukti atas kebenaran suatu proposisi menjadi representability menurut himpunaniap angka sebagai jumlah menurut empat kotak harus memberikan landasan yang aman buat proposisi bahwa bahwa himpunaniap ya-atau-nir tepat dirumuskan pertanyaan pada matematika harus memiliki kentara -memotong jawaban yaitu satu bertujuan buat mengambarkan bahwa dari 2 kalimat A dan ~ A, sempurna satu selalu dapat diturunkan. Godel mengklaim bahwa tidak keduanya dapat diturunkan adalah konsistensi, serta yg satu selalu sanggup benar-benar diturunkan berarti bahwa pertanyaan matematika diungkapkan oleh A dapat tegas menjawab. Godel menyarankan bahwa jika seseorang ingin membenarkan 2 pernyataan dengan kepastian matematika, bagian eksklusif berdasarkan matematika wajib diakui sebagai sahih pada arti filosofi kanan tua.
Godel, K., 1961, bersikeras bahwa bila kita membatasi diri menggunakan teori sapta orisinil, adalah tidak mungkin buat menemukan sistem aksioma dan anggaran formal pada mana buat himpunaniap proposisi nomor -teori A, A atau ~~~V A akan selalu diturunkan, dan buat aksioma relatif komprehensif matematika, nir mungkin buat melaksanakan bukti konsistensi hanya menggunakan merefleksikan kombinasi beton simbol, tanpa memperkenalkan elemen yg lebih abstrak. Godel menjamin bahwa kombinasi Hilbertian materialisme dan aspek matematika klasik terbukti tidak mungkin. Godel mempertahankan bahwa hanya ada dua kemungkinan baik menyerah aspek kanan lama matematika atau upaya buat menegakkan mereka pada kontradiksi menggunakan semangat zaman, beliau lalu menyatakan bahwa:
Satu hanya menyerah aspek yg akan pemenuhan dalam hal apapun sangat diinginkan dan yg mempunyai poly buat merekomendasikan diri mereka: yaitu, pada satu sisi, buat menjaga buat matematika kepastian pengetahuan, dan pada sisi lain, buat menegakkan keyakinan bahwa buat pertanyaan yg kentara yang ditimbulkan sang alasan, alasan juga bisa menemukan jawaban yg kentara. Dan seperti yg perlu dicatat, salah satu menyerah aspek-aspek ini bukan karena output matematika dicapai memaksa seseorang buat melakukannya tetapi karena itu adalah satu-satunya cara mungkin, meskipun hasil ini, buat permanen sinkron dengan filosofi yang berlaku.
Godel, K., 1961, menegaskan bahwa kepastian matematika merupakan harus diamankan nir menggunakan mengambarkan sifat tertentu dengan proyeksi ke sistem bahan yaitu manipulasi simbol-simbol fisik melainkan dengan mengembangkan atau memperdalam pengetahuan tentang konsep-konsep tak berbentuk sendiri yg menunjuk dalam pengaturan berdasarkan sistem mekanik, serta selanjutnya menggunakan mencari, sinkron menggunakan mekanisme yang sama, buat memperoleh wawasan solvabilitas, serta metode aktual untuk solusi, berdasarkan semua masalah matematika yang bermakna. Tetapi, Godel bersikeras bahwa buat memperluas pengetahuan kita mengenai konsep-konsep tak berbentuk, yaitu buat membuat konsep-konsep diri yang sempurna serta buat mendapatkan wawasan yang komprehensif serta aman ke pada interaksi fundamental yg hayati pada antara mereka, yaitu, ke dalam aksioma yang terus bagi mereka, nir oleh mencoba menaruh definisi eksplisit buat konsep dan bukti buat aksioma, lantaran buat satu yang kentara perlu lainnya un-didefinisikan konsep-konsep abstrak serta aksioma induk mereka, apabila tidak orang akan memiliki apa-apa berdasarkan mana orang bisa mendefinisikan atau mengambarkan. Godel mengklaim bahwa mekanisme itu harus terletak pada klarifikasi makna yg tidak terdiri dalam memberikan definisi, dia menyatakan bahwa pada pembentukan sistematis menurut aksioma matematika, aksioma baru menjadi kentara serta sama sekali nir dikecualikan sang hasil negatif yg permanen himpunaniap kentara diajukan matematika ya atau ada pertanyaan dipecahkan menggunakan cara ini, lantaran hanya ini menjadi kentara aksioma lebih serta lebih baru atas dasar arti menurut pengertian primitif bahwa mesin nir dapat meniru.
Irvine, AD, 2003, mengungkapkan bahwa logicism pertama kali dianjurkan pada abad ke 7 belas-an oleh Gottfried Leibniz. Kemudian, ide itu dipertahankan secara lebih rinci sang Frege Gottlob. Irnine menerangkan bahwa selama gerakan kritis dimulai pada 1820-an, pakar matematika seperti Bernard Bolzano, Niels Abel, Louis Cauchy dan Karl Weierstrass berhasil menghilangkan banyak ketidakjelasan serta banyak pertentangan yg ada dalam teori matematika berdasarkan hari mereka, dan sang 1800-an, William Hamilton juga memperkenalkan pasangan teratur berdasarkan real menjadi langkah pertama dalam memasok secara logis untuk angka kompleks. Irvine menampakan bahwa pada banyak semangat yg sama, Karl Weierstrass, Richard Dedekind serta Georg Cantor memiliki jua semua metode dikembangkan buat mendirikan irrationals dalam hal rationals, serta memakai karya HG Grassmann serta Richard Dedekind, Guiseppe Peano sudah kemudian pulang untuk menyebarkan teori rationals menurut axioms sekarang terkenal dengan alam angka, dan demi hari Frege, secara generik diakui bahwa sebagian besar matematika bisa diturunkan menurut satu himpunan yg relatif mini dari gagasan primitif.
Logicism adalah doktrin bahwa Matematika merupakan direduksi ke Logic. Tradisi analitik terbaru dimulai menggunakan karya Frege dan Russell buat keduanya matematika adalah perhatian sentral. Sebagai logicists menyatakan bahwa pernyataan matematis, bila mereka benar sama sekali, merupakan sahih tentu, maka prinsip-prinsip nalar juga umumnya dipercaya kebenaran yang diharapkan, mungkin maka kebenaran matematika yang sahih-sahih kebenaran logis hanya rumit. Logicism merupakan nama yg diberikan buat acara penelitian yang diprakarsai sang Frege dan dikembangkan sang Russell serta Whitehead tujuan yang merupakan buat menunjukkan bagaimana matematika direduksi sebagai nalar. Frege mencoba buat menaruh matematika dengan dasar yg logis bunyi, sayangnya Russel menemukan bahwa sistem Frege tidak konsisten; karya terkenal Russell pada teori jenis adalah upaya buat menghindari lawan asas yg menimpa versi Frege menurut logicism. (Filosofi Matematika, //Googlesearch.). Moschovakis, JR, 1999, menyampaikan bahwa nalar intuitionistic mencakup prinsip-prinsip penalaran logis yg dipakai oleh LEJ Brouwer; filosofis, intuitionism berbeda dari logicism menggunakan memperlakukan nalar sebagai bagian menurut matematika bukan menjadi dasar dari matematika, dari finitism dengan memungkinkan ( konstruktif) penalaran tentang koleksi tak terbatas, dan berdasarkan Platonisme dengan melihat objek matematika menjadi konstruksi mental yg tanpa keberadaan yg ideal independen. Moschovakis menyatakan bahwa program formalis Hilbert, buat membenarkan matematika klasik dengan mengurangi ke sistem formal yg konsistensi harus ditetapkan dengan cara finitistic, adalah saingan kontemporer paling digdaya buat intuitionism Brouwer 's berkembang; beliau menolak formalisme semata tetapi mengakui kegunaan potensi merumuskan umum prinsip-prinsip logis mengekspresikan konstruksi intuitionistically sahih, misalnya modus ponens. Moschovakis menampakan bahwa sistem formal buat nalar proposisional dan predikat intuitionistic tersebut dikembangkan oleh Heyting [1930], Gentzen [1935] dan Kleene [1952]; serta terjemahan Gödel-Gentzen negatif ditafsirkan nalar predikat klasik dalam subsistem intuitionistic nya. Dalam [1965] Kripke memberikan semantik terhadap yang logika predikat intuitionistic terselesaikan.
Podnieks, K., 1992, mencatat bahwa berdasarkan intuitionists, persamaan yang melibatkan operator numerik dasar seperti, terkait dengan empat aktivitas: membentuk angka, melihat 2 menurut mereka bersama-sama, serta mengenali mereka sama dengan ketiga, dan intuitionism standar Brouwer 's hanya membatasi kita buat apa yang finitary dan dari teori intuisionis, reductio ad absurdum bukti nir diijinkan buat mengambarkan bahwa sesuatu itu terdapat meskipun mereka diterima buat output negatif. Brouwer melihat bahwa himpunan algoritma dihitung adalah enumerable yaitu memiliki jumlah kardinal 0, sehingga kita nir bisa membatasi angka konkret buat himpunan ini, karena lalu akan tidak memiliki sifat bahwa real terhitung miliki. Posy memperlihatkan bahwa solusi Brouwer adalah generalisasi menurut konsep algoritma atau aturan untuk menaruh jumlah tak terhitung prosedur pemecahan buat memberikan apa yang diperlukan untuk real itu adalah gagasan mengenai urutan pilihan. Brouwer umum prosedur pemecahan dengan melonggarkan persyaratan bahwa algoritma sebagai deterministik serta hasilnya adalah urutan di mana elemen berurutan bisa dipilih dari sekumpulan kandidat. Menurut Brouwer, urutan pilihan diberikan sang aturan deterministik buat memberikan beberapa elemen pertama, serta anggaran nir-selalu-deterministik buat menentukan elemen berikutnya. Posy bertanya-tanya apakah mereka merupakan sama serta bertemu menggunakan bilangan real yang sama, beliau menyampaikan bahwa beliau tidak dan tidak bisa mengetahui hal ini. Dengan demikian, mengakibatkan kesimpulan bahwa beberapa pertanyaan penting tentang urutan pilihan tidak dijawab pada jumlah saat yang terbatas dan menggunakan demikian, tidak ada kebenaran mengenai pertanyaan mengenai kehimpunanaraan akhir serta kita bahkan nir memahami apakah kita akan tahu menjawab dalam jumlah ketika yang terbatas. Posy menyimpulkan bahwa Brouwer harus himpunan ulang teori bertepatan menggunakan konstruksi yang lain pada mana pada bawah versinya menetapkan teori, perbedaan antara unsur satu himpunan dan himpunan sendiri kurang terdefinisi menggunakan baik.
Dalam hal geometri, Posy, C., 1992, memberitahuakn bahwa Brouwer mencicipi bahwa sifat ruang dianggap murni geometris dapat dinyatakan temporal sekali kita mengakui bahwa apa yang menjadi karakteristik struktur waktu adalah bahwa masa depan masih ragu-ragu. Menurut Posy, Brouwer percaya bahwa bagian-bagian yg ideal matematika terdiri dari objek yg sebenarnya diciptakan dalam pikiran. Di sisi lain, Brouwer mengakui bahwa terdapat perkara menggunakan urutan pilihan karena liputan bahwa sejumlah konkret diciptakan sang tindakan pilihan tampaknya nir tepat yang dibutuhkan tindakan manusia yang Brouwer tidak merasa itu wajib dimasukkan dalam matematika . Tetapi, Brouwer telah memperkenalkan metode subjek membangun untuk membentuk sapta real yang menyebabkan beliau menjadi seseorang matematikawan ideal, dia toke B, serta membagi penelitian ke tahap di mana dalam himpunaniap termin ada perkara matematika yg belum terpecahkan menjadi: (n) = ½ jika dalam tahap n, B belum terbukti atau membantah perkara yg belum terpecahkan, (n) = bila pada tahap n, B telah memecahkan masalah. Brouwer berkata bahwa proses ini menciptakan urutan yang adalah sapta real serta tidak terdapat tindakan pilihan, tetapi ada mekanisme otomatis, menangkap efek yg sama dengan urutan pilihan, tanpa memanfaatkan tindakan non-matematika pilihan. Posy disimpulkan bahwa metode ini tidak akan bekerja bila perkara belum terpecahkan diselesaikan, sebagai akibatnya, agar metode subyek membentuk menjadi metode yang dapat diterima, sine qua non pasokan yang tak habis-habisnya kasus matematika yang tidak terpecahkan. Brouwer percaya hal ini sahih, namun Hilbert berkata bahwa nir akan ada perkara yg tidak terpecahkan dalam prinsipnya, dimana Brouwer jelas bertentangan dengan pandangannya.
Menurut teori formalis, kita mempunyai konsepsi sangat wajar pengetahuan objek dalam matematika konkret; sehubungan dengan matematika yang ideal, kita bisa memperoleh konsepsi berdasarkan objek melalui penggunaan sistem formal. Tetapi, kebenaran hanya bisa buat bagian konkret berdasarkan matematika, nir terdapat hal-hal sinkron menggunakan keyakinan kita pada bagian yg ideal. Hal ini membentuk teori dualistik kebenaran - beberapa pemikiran yang sahih melalui teori, hibrida buatan, sementara yg lain merupakan sahih melalui cara-cara normal (Folkerts, M., 2004). Formalisme terutama terkait dengan David Hilbert yang acapkali dicirikan menjadi pandangan bahwa akal dan matematika adalah permainan yang formal belaka serta mempunyai legitimasi yang independen berdasarkan isi semantik berdasarkan formalisme, asalkan kita bisa diyakinkan dari konsistensi sistem formal. Program Hilbert buat menyelesaikan paradoks merupakan untuk mencari bukti konsistensi finitary untuk semua matematika klasik, ini umumnya diadakan untuk telah ditunjukkan mungkin sang teorema ketidaklengkapan kedua Gödel, bagaimanapun unsur ketidakpastian tentang apa yang dimaksud menggunakan finitary membuat ini tidak absolut konklusif., 1997, Kategori Teori serta Dasar-dasar Matematika, RBJ, //www.rbjones.com/rbjpub/rbj.htm.
Sementara itu, Folkerts, M., 2004, memperlihatkan bahwa dalam tahun 1920 Hilbert mengajukan proposal yang paling rinci buat memutuskan validitas matematika; berdasarkan teori bukti, semuanya akan dimasukkan ke pada bentuk aksioma, memungkinkan anggaran inferensi sebagai hanya akal dasar, serta hanya mereka kesimpulan yang sanggup dicapai menurut himpunan berhingga dari aksioma dan anggaran inferensi itu harus diterima. Dia mengusulkan bahwa sebuah sistem yang memuaskan akan sebagai keliru satu yang konsisten, lengkap, dan decidable; oleh Hilbert konsisten berarti bahwa itu wajib mungkin buat menurunkan ke 2 pernyataan dan negasinya; dengan lengkap, bahwa himpunaniap pernyataan yang ditulis menggunakan benar wajib sedemikian rupa bahwa baik itu atau negasinya merupakan diturunkan berdasarkan aksioma; oleh decidable, bahwa seseorang harus memiliki prosedur pemecahan yang menentukan berdasarkan himpunaniap pernyataan yg diberikan apakah itu atau negasinya bisa dibuktikan. Menurut Hilbert, sistem seperti itu terdapat, contohnya, orde pertama predikat kalkulus, akan tetapi tidak terdapat yang ditemukan mampu memungkinkan matematikawan buat melakukan matematika yg menarik.
Hilbert, D., 1972, memberitahuakn bahwa itu Brouwer menyatakan bahwa pernyataan keberadaan ada adalah dalam diri mereka kecuali mereka mengandung pembangunan objek menegaskan ada, adalah scrip nir berharga, serta penggunaannya menyebabkan matematika buat berubah menjadi sebuah permainan. Hilbert Brouwer mencatat urusan sehubungan dengan celaan bahwa matematika akan berubah menjadi sebuah permainan menggunakan mengklaim bahwa asal teorema eksistensi murni adalah c-aksioma logis, pada mana dalam gilirannya pembangunan menurut semua proposisi yg ideal tergantung, dia berpendapat sejauh menurut permainan rumus dimungkinkan berhasil. Menurut Hilbert, permainan rumus memungkinkan kita buat mengungkapkan isi pikiran-semua ilmu matematika dengan cara yg seragam dan mengembangkannya sedemikian rupa sebagai akibatnya, pada saat yang sama, interkoneksi antara proposisi individu dan fakta menjadi kentara; buat membuatnya menjadi kebutuhan universal yang himpunaniap rumus individu maka akan ditafsirkan menggunakan sendirinya tidak berarti lumrah, kebalikannya, sebuah teori pada dasarnya adalah misalnya yang kita tidak perlu buat jatuh balik dalam bisikan hati atau makna di tengah-tengah beberapa argumen.
Hilbert, D., 1972, menyatakan bahwa nilai bukti keberadaan murni justru terdiri bahwa konstruksi individu dihilangkan oleh mereka serta bahwa konstruksi yg tidak sinkron poly yg digolongkan pada bawah satu ilham fundamental, sebagai akibatnya hanya apa yg penting buat menunjukan menonjol jelas ; singkatnya serta pemikiran ekonomi adalah raison d'etre dari bukti eksistensi, beliau lalu diberitahu bahwa teorema eksistensi murni telah menjadi landmark yg paling penting dalam sejarah perkembangan ilmu kita. Tapi pertimbangan tadi tidak merepotkan intuisionis yg taat. Menurut Hilbert, permainan formula yg Brouwer begitu deprecates mempunyai, selain nilai matematika, makna filosofis penting umum, karena ini permainan formula dilakukan sesuai dengan aturan yang niscaya eksklusif, pada mana teknik pemikiran kita diungkapkan dan ini bentuk aturan sistem tertutup yang dapat ditemukan dan dinyatakan secara definitif. Hilbert menegaskan bahwa pandangan baru dasar berdasarkan teori bukti tidak lain adalah buat mendeskripsikan aktivitas pemahaman kita, buat menciptakan sebuah protokol aturan yang menurut pemikiran kita benar-sahih hasil; berdasarkan beliau berpikir, begitu terjadi, sejajar berbicara dan menulis : kita bentuk pernyataan dan menempatkan mereka satu pada belakang lain. Dia berargumen bahwa apabila terdapat totalitas pengamatan serta fenomena layak buat dijadikan obyek penelitian yg serius serta menyeluruh, inilah satu-lantaran, himpunanelah semua, itu adalah bagian menurut tugas ilmu pengetahuan buat membebaskan kita berdasarkan kesewenang-wenangan, sentimen, dan norma dan buat melindungi kita dari subjektivisme yang telah dibentuk sendiri merasa pada Kronecker pandangan dan, tampaknya dia, menemukan titik puncaknya dalam intuitionism.
Hilbert, D., 1972, bersikeras bahwa tantangan intuitionism yg paling tajam dan paling bersemangat adalah satu itu sahabat kencan pada validitas prinsip dikecualikan tengah, contohnya, dalam kasus yang paling sederhana, dalam validitas modus inferensi sesuai, yg , untuk himpunaniap pernyataan yg berisi angka-teori variabel, baik pernyataan tersebut benar buat semua nilai menurut variabel atau masih ada angka yg salah . Hilbert dirasakan bahwa prinsip dikecualikan tengah merupakan konsekuensi logis berdasarkan c-aksioma serta nir pernah belum mengakibatkan kesalahan sedikit pun, melainkan, apalagi, begitu kentara dan dipahami bahwa penyalahgunaan yg menghalangi. Menurut Hilbert, khususnya, prinsip dikecualikan tengah nir disalahkan sedikit pun untuk terjadinya populer paradoks dari teori himpunan, melainkan lawan asas ini merupakan lantaran hanya buat pengenalan gagasan dapat diterima serta tidak berarti, yg secara otomatis dikeluarkan dari bukti teori saya. Hilbert menampakan bahwa Adanya bukti dilakukan dengan donasi prinsip dikecualikan tengah umumnya sangat menarik karena singkatnya mengejutkan mereka serta keanggunan. Untuk Hilbert, mengambil prinsip tengah dikeluarkan berdasarkan matematika akan sama, proscribing teleskop buat astronomi atau buat petinju penggunaan tinjunya; untuk melarang pernyataan keberadaan serta prinsip dikecualikan tengah sama saja menggunakan melepaskan ilmu matematika sama sekali.
Hilbert, D., 1972, bersikeras bahwa apabila kesimpulan logis merupakan bisa diandalkan, wajib dimungkinkan buat survei obyek sepenuhnya dalam semua bagian mereka, dan kabar bahwa mereka terjadi, bahwa mereka tidak selaras satu sama lain, dan bahwa mereka mengikuti himpunaniap lain, atau adalah concatenated, merupakan eksklusif, diberikan secara intuitif, bersama menggunakan objek, merupakan sesuatu yang nir bisa dikurangi buat hal lain pula memerlukan reduksi. Hilbert menyarankan bahwa dalam matematika kita mempertimbangkan indikasi-tanda konkret sendiri, yg bentuknya, menurut konsepsi kita telah mengadopsi, segera, jelas serta dikenali, ini adalah sangat sedikit yang harus mensyaratkan, nir ada pemikir ilmiah dapat membuang itu, serta karenanya himpunaniap orang harus mempertahankan itu, secara sadar, atau tidak.
Hilbert, D., 1972, mengakui bahwa ad interim itu terdapat banyak kesalahan ditemukan menggunakan mereka, serta keberatan menurut seluruh jenis sarang dibesarkan menentangnya, dan dirasakan bahwa semua kritikus beliau dipercaya hanya menjadi nir adil karena bisa; ia menjamin bahwa itu adalah bukti konsistensi yg menentukan lingkup efektif teori bukti dan secara umum adalah inti; metode W. Ackermann memungkinkan perpanjangan diam. Dia menyatakan bahwa untuk dasar-dasar pendekatan analisis biasa Ackermann sudah dikembangkan begitu jauh sebagai akibatnya hanya tugas melaksanakan bukti murni matematis finiteness tetap. Hilbert lalu menyimpulkan bahwa hasil akhir merupakan bahwa matematika merupakan ilmu pra-anggapan-kurang. Ia menegaskan bahwa buat matematika ditemukan beliau nir perlu Tuhan atau perkiraan fakultas spesifik pemahaman kita selaras dengan prinsip induksi matematika Poincaré, atau intuisi primal Brouwer, atau, Russell serta aksioma Whitehead tak terhingga, reducibility, atau kelengkapan, yg sebenarnya merupakan yg sebenarnya, berdasarkan Hilbert, mereka contentual asumsi yg nir bisa dikompensasikan menggunakan bukti konsistensi.
Folkerts, M., 2004, merasa terpengaruh sang program Hilbert, menyatakan bahwa bagaimanapun, Formalisme nir nir akan berlangsung usang. Pada tahun 1931 ahli matematika kelahiran Austria Amerika serta pakar logika Kurt Gödel memberitahuakn bahwa tidak terdapat sistem jenis Hilbert pada mana bilangan bulat mampu didefinisikan serta yang konsisten serta lengkap. Kemudian Gödel dan, mandiri, ahli matematika Inggris Alan Turing menampakan decidability yang juga tak terjangkau. Disertasi Gödel terbukti kelengkapan orde pertama akal, bukti ini dikenal menjadi Teorema Kelengkapan Gödel 's. Gödel pula menandakan bahwa Hilbert benar mengenai asumsinya bahwa meta-matematika merupakan bagian dari bagian konkret berdasarkan matematika; ia memakai angka teori menjadi contoh yg sepenuhnya beton dan kemudian memberitahuakn bagaimana menerjemahkan berbicara mengenai simbol ke berbicara mengenai nomor . Gödel ditugaskan kode buat himpunaniap simbol sedemikian rupa bahwa yang disebut Gödel-nomor dikalikan beserta-sama mewakili formula, menetapkan formula, dan hal lainnya serta kemudian seorang dapat berbicara mengenai Gödel-nomor menggunakan nomor teori. Folkerts memberitahuakn bahwa buat membuat Gödel-angka buat pernyataan pada sistem formal, terlebih dahulu kita harus tetapkan himpunaniap simbol sapta bundar yang berbeda mulai berdasarkan satu, lalu memutuskan himpunaniap posisi pada laporan sapta prima berturut-turut yaitu mulai dengan tiga. Folkerts mencatat bahwa Gödel-angka untuk pernyataan itu merupakan produk dari sapta prima dibawa ke kekuatan nomor yg ditetapkan ke simbol dalam posisi pernyataan; sejak nomor dua bukan adalah faktor dari jumlah Gödel-buat sebuah pernyataan, semua pernyataan 'Gödel-angka akan aneh. Folkerts menunjukkan bahwa Gödel-nomor buat urutan laporan dibangun menggunakan mengalikan sapta prima keluar berturut-turut, dimulai dengan, angka dua dibawa ke kuasa angka Gödel-pernyataan yg muncul dalam posisi dalam daftar.
Folkerts, M., 2004, mencatat bahwa agar kita bisa memaknai teorema kita bisa menuliskan daftar kalimat yang merupakan bukti mengenai hal itu, sehingga Teorema Gödel 's-nomor kalimat terakhir pada bilangan genap Gödel dan ini mengurangi bukti theorems ke properti nomor -teori yang melibatkan Gödel-angka serta konsistensi bisa ditampilkan melalui nomor teori. Folkerts menampakan bahwa Gödel menampakan sesuatu yang bisa kita mewakili pada sistem formal dari sejumlah teori adalah finitary. Gödel menunjukkan bahwa menurutnya bila S sebagai sistem formal buat angka teori dan jika S adalah konsisten, maka ada kalimat, G, seperti bahwa baik G juga negasi berdasarkan G merupakan Teorema dari S, dan menggunakan demikian, himpunaniap sistem formal memadai buat menyatakan theorems berdasarkan nomor teori wajib lengkap. Gödel menampakan bahwa S bisa menerangkan P (n) hanya pada perkara n adalah Gödel-nomor yang Teorema berdasarkan S; maka di sana terdapat k, sebagai akibatnya k merupakan Gödel-jumlah rumus P (k) = G dan pernyataan ini istilah menurut dirinya sendiri, nir bisa dibuktikan. Menurut Gödel, bahkan jika kita mendefinisikan sebuah sistem formal baru S = S + G, kita dapat menemukan G yang nir dapat dibuktikan pada S, dengan demikian, S bisa menerangkan bahwa apabila S adalah konsisten, maka G tidak bisa dibuktikan. Gödel menjelaskan bahwa jika S bisa pertanda cst (S), maka S bisa membuktikan G, tetapi jika S merupakan konsisten, tidak bisa pertanda G, sehingga nir bisa mengambarkan konsistensi. Dengan demikian, Program Hilbert tidak bekerja, satu tidak dapat menandakan konsistensi teori matematika. Namun, Folkerts menerangkan bahwa Gentzen melihat Teorema ketidaklengkapan Gödel dan penasaran mengapa sistem formal buat aritmatika sangat lemah bahwa itu nir bisa menandakan konsistensi sendiri. Menurut Gentzen, penyempitan alami dalam bukti adalah bahwa mereka merupakan daftar terbatas laporan, karenanya, Gentzen menawarkan teori aritmatika yang kemudian memungkinkan bukti konsistensi berdasarkan sistem formal menurut aritmatika; di mana beliau memperkuat aksioma induksi matematika , yang memungkinkan sebuah aksioma induksi kuat. Sementara induksi tradisional mengasumsikan domain mempunyai tipe ketertiban; Tetapi Gentzen mengasumsikan bahwa domain memiliki jenis, supaya lebih rumit lebih tinggi.
Di sisi lain, Folkerts menemukan bahwa Alan Turing mendefinisikan fungsi sebagai acara buat buat menghitung dengan mesin sederhana pada mana fungsi ini sama menggunakan apa yg Gödel pikirkan. Menurut Alan Turing, semua definisi berdasarkan fungsi yang tidak sama dapat dihitung dengancara menciptakan himpunan yg sama menggunakan fungsi yang ada. Fungsi dapat dihitung lantaran yang paling poly cara buat program mesin Turing serta jumlah fungsi yg mungkin dapat ditetapkan, sehingga fungsi dapat ditentukan secara teoritis sebagai sebuah pengecualian. Alan Turing menunjukkan bahwa fungsi merupakan rekanan yang tidak terhitung yang menghasilkan output yg tergantung dalam variabel rambang.
Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa dalam hal lawan asas Himpunan berdasarkan Russell, maka solusinya bisa diturunkan berdasarkan himpunan yang bukan anggota sendiri. Podnieks, K., 1992, menampakan bahwa teori tadi kini sedang ditantang sebagai teori dasar matematika dan teori kategori diusulkan sebagai pengganti, pada teori kategori, dikembangkan pengertian dasar fungsi serta operasi. Tetapi, Posy, dalam hal pertanyaan ontologis, penasaran seberapa akurat gagasan bahwa himpunan adalah objek dasar matematika, sedangkan teori yg dihimpun terlalu kaya dan ada cara yang berbeda terlalu banyak buat menciptakan matematika. Posy berpendapat bahwa elemen dasar nir boleh sembarang dipilih, namun tidak menentukan pilihannya, serta memberitahuakn bahwa, dalam pandangan terkini mengenai strukturalisme, unit dasar merupakan struktur, yg bukan sahih-sahih objek. Folkerts, M, 2004, bersikeras bahwa program Hilbert masih mempunyai pembagian antara bagian real dan ideal matematika, dia khawatir tentang status ontologis dari objek pada bagian ideal matematika serta mereka hanya diciptakan untuk memberikan bagian yang ideal, serta memberi kita jalan pintas, tetapi tidak pernah diyakini sebagai bagian dari realitas. , Dan beliau bertanya-tanya tentang asal pengetahuan matematika serta kebenaran matematika yg mencakup adanya objek yg terdapat, serta benda-benda yg nir terdapat: dia pula peduli bahwa ini memberi kita sebuah dunia menurut obyek impian, menuntaskan dualisme objek Folkerts. Namun, seperti Folkerts katakan, Paulus Benacerraf menjelaskan persoalan ini menggunakan memberikan pertanyaan-pertanyaan mengenai teori standar kita tentang pengetahuan atau kebenaran; menurut Benacerraf, terdapat semacam teori korespondensi antara pengetahuan kita dengan benda-benda sehingga membangun kemampuan kognitif kita melalui indera kita, serta kita membentuk kepercayaan melalui interaksi karena-dampak antara objek yang kita pikirkan dengan pikiran kita; pada mana kaum formalis serta kaum Platonis mengalami kesulitan melengkapi mengenai hal ini.
Stefanik, R., 1994, bersikeras bahwa dari Bernaceraf, ini menyebabkan strukturalisme menganggap bahwa sapta asli, merupakan bentuk urutan, sang karena itu, jika matematika benar-benar abstrak, mengapa wajib memiliki penerapan eksklusif? Apakah hanya sebuah "keajaiban" bahwa matematika berlaku untuk global fisik, atau, sebaliknya, kita cenderung menekankan struktur matematika yang herbi global? Hal ini dipersulit dengan aneka macam pelaksanaan baru buat metode matematika, misalnya penerapan teori gerombolan buat linguistik. Selanjutnya, Posy mencatat bahwa kaum strukturalis beropini bahwa matematika bukanlah mengenai beberapa himpunan tertentu dari objek abstrak melainkan matematika adalah ilmu tentang pola struktur, serta benda-benda eksklusif yang relevan menggunakan matematika sejauh mereka memenuhi beberapa pola atau struktur. Posy bersikeras bahwa berbagai versi strukturalisme telah diusulkan oleh matematikawan smisalnya Benacerraf, Resnik, Shapiro, dan Hellman. Benacerraf, seperti yg menyatakan sang Stefanik, R., 1994, berpendapat buat posisi strukturalis menggunakan terlebih dahulu menyajikan model pada mana kaum Logicist bersifat sangat agresif, misalnya Ernie serta Johnny, pertama belajar teori akal dan himpuna dan bukan belajar teori bilangan. Benacerraf berkata:
Ketika datang untuk belajar mengenai nomor , mereka hanya belajar nama-nama baru buat himpunan dan anggotanya. Mereka menghitung anggota dari suatu himpunan menggunakan menentukan kardinalitas berdasarkan himpunan, dan mereka menetapkan ini menggunakan menampakan bahwa masih ada interaksi khusus antara himpunan serta nomor .
Stefanik, R., 1994, menunjukkan bahwa Benacerraf berpendapat bahwa keyakinan Frege dari dari ketidakkonsistenannya, lantaran seluruh benda alam semesta adalah himpunan. Pertanyaan apakah 2 nama mempunyai referen yang sama selalu memiliki nilai kebenaran?, Tetapi, kondisi menciptakan bukti diri hanya pada konteks pada mana terdapat syarat yang unik. Benacerraf menyatakan bahwa bila sebuah kalimat "x = y" adalah Benar, hal ini bisa terjadi hanya dalam konteks di mana kentara bahwa kedua x serta y merupakan Benar. Stefanik bersikeras bahwa pencarian buat objek dasar alam semesta yang matematis, adalah usaha yang keliru yang mendasari teori kaum Absolutist dan pengikut filsafat platonis. Ia mencatat bahwa hal ini nir menggoyahkan pendirian Benacerraf; lantaran menurut Stefanik, Benacerraf masih menegaskan akal yang kemudian dapat dicermati menjadi nalar yang paling generik berdasarkan disiplin ilmu, yg berlaku menggunakan cara yg sama buat serta dalam teori yang diberikan.
Thompson, P., 1993, menyatakan bahwa para filsuf matematika memiliki, selama ribuan tahun, berulang kali keterlibatan pada perdebatan tentang lawan asas dan kesulitan mereka pada melihat kenyataan yang timbul berdasarkan tengah-tengah keyakinan mereka yang bertenaga serta intuitif. Dari munculnya Geometri non-Euclidean, analisis teori kontinum, serta penemuan Cantor tentang sapta transfinite, sistem Frege, matematikawan kemudian menyuarakan keprihatinan mereka bagaimana kita secara serampangan sudah memikirkan sesuatu yg asing, dan dengan liar memperpanjang problem matematika kita dengan bisikan hati, atau jika tidak kita telah menjadi rentan terhadap perangkap yang tak terduga dan sampai sekarang, menggunakan apa yg diklaim pertentangan. Thompson memberitahuakn bahwa di jantung perdebatan ini terletak tugas mengisolasi bisikan hati macam apa, serta tetapkan kapan kita harus sangat berhati-hati bagaimana menerapkannya, namun, mereka yang mencari kepuasan dasar epistemologis mengenai kiprah bisikan hati dalam matematika tak jarang dihadapkan dengan pilihan yang tidak menarik, antara metafisika yg berasal berdasarkan Brouwer, dan pengakuan mistis Gödel dan Platonis bahwa kita secara intuitif bisa membedakan ranah kebenaran matematika. Hal ini menunjukkan bahwa, pada hal dasar, matematika dipercaya sebagai ilmu logis, higienis terstruktur, serta relatif beralasan atau singkatnya pada matematika adalah ilmu logis yang sangat terstruktur, tetapi jika kita menggali cukup pada dan pada penyelidikan yang mendalam, kita masih menemukan beberapa hal yg menjadi perdebatan filsafat. Ini adalah fenomena bahwa, dalam hal sejarah matematika, berbagai macam sejarah matematika yang datang, dimulai pada Yunani kuno, berjalan melalui pergolakan menuju masa depan yang keluar, sedangkan pada hal sistem pondasi logis matematika, metode matematika merupakan deduktif, serta sang karenanya logika mempunyai peran fundamental pada pengembangan matematika.
Beberapa masalah masih timbul: dalam hal makna, kita bertanya-tanya mengenai penggunaan bahasa khusus buat berbicara tentang matematika, apakah bahasa matematika adalah hal-hal aneh dan timbul berdasarkan global ini dan apa merupakan semua ini, serta lalu, apakah arti hakikinya? Kita mungkin penasaran apakah matematikawan berbicara tentang hal yg aneh, apakah mereka sahih-benar ada, serta bagaimana mereka dapat kita katakan atau apakah yg dikatakannya penting?. Secara epistemologis, matematika telah sering tersaji sebagai paradigma ketepatan serta kepastian, tetapi beberapa penulis sudah menyarankan bahwa ini adalah ilusi belaka. Bagaimana kita sanggup mengetahui kebenaran dari proposisi matematika, serta dalam hal aplikasi, bagaimana pengetahuan matematika yang abstrak dapat diterapkan pada dalam global konkret? Apa implikasi buat matematika berdasarkan adanya revolusi liputan;? Dan apa yang sanggup matematika kontribusikan?. Thompson, P., 1993, bersikeras bahwa analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis menurut "intuisi" yg mendasar terhadap dugaan dan inovasi dalam matematika, menggunakan kepastian epistemis menurut peran intuitif proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan bahwa sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman kita, serta menggunakan kemampuan kita buat melakukan konseptualisasi.
Litlangs 2004, menyitir ketidaksetujuan Aristoteles terhadap Plato; menurut Aristoteles, bentuk fisik tidaklah jauh tidak selaras menggunakan penampilannya tetapi sesuatu yg konkrit sajalah yg sebagai benda-benda global. Aristoteles menyatakan bahwa saat kita mendapatkan sesuatu yang abstrak, bukan berarti bahwa abstraksi merupakan sesuatu yg jauh serta abadi. Bagi Aristoteles, matematika merupakan hanya penalaran tentang idealisasi, serta dia melihat dekat dalam struktur matematika, membedakan akal, prinsip yg digunakan buat menunjukkan teorema, definisi dan hipotesis. Plato pula tercermin pada tak terhingga, tahu disparitas antara potensi tidak terbatas contohnya menambahkan satu ke bilangan infinit contohnya tidak terbatas. Bold, T., 2004, menyatakan bahwa ke 2 intuisionis serta formalis meyakinkan bahwa matematika hanyalah inovasi serta mereka melakukannya dengan nir menginformasikan kepada kami dengan apa-apa tentang global; keduanya merogoh pendekatan ini buat menjelaskan kepastian absolut matematika dan menolak penggunaan bilangan infinit. Bold mencatat bahwa intuitionists mengakui hal ini kesamaannya menggunakan formalis dan menganggap disparitas yg ada sebagai perbedaan pendapat pada mana ketepatan matematis memang ada; intuisionis mengatakannya sebagai kecerdasan insan dan formalis mengatakannya sebagai hanya coretan pada atas kertas. Menurut Arend Heyting, matematika merupakan produksi dari pikiran insan; ia menjamin intuitionism yang menjamin proposisi matematika mewarisi kepastian mereka berdasarkan pengetahuan manusia yg berdasarkan dalam pengalaman realitas. Bold menyatakan bahwa semenjak, infinity tidak sanggup digunakan, intuisionis menolak buat mendorong penerapan matematika pada luar infinisitas; Heyting menyatakan adanya keyakinan terhadap transendental, yg nir didukung oleh konsep, serta harus ditolak sebagai indera bukti matematika. Demikian juga, Bold menemukan bahwa Hilbert menulis bahwa buat konklusi logis yg bisa diandalkan itu wajib memungkinkan buat buat dilakukannya survei terhadap kebenaran obyek dan bagian-bagiannya, karena tidaklah terdapat survei buat infinity yg dapat disimpulkan menggunakan hanya mengandalkan dalam sistem yang terbatas. Menurut formalis, seluruh matematika hanya terdiri berdasarkan anggaran sembarang misalnya yg catur.
Di sisi lain, Posy, C., 1992, menemukan bahwa Hilbert sahih-benar menempatkan struktur dalam bagian intuitif matematika, pada dasarnya bahwa pemikiran finitary serta sistem formal; menggunakan pekerjaan Gödel 's. Thompson, P., 1993, berpendapat bahwa Gödelian Platonisme, khususnya, yang memimpin pengalaman aktual melakukan matematika, dan bilangan Gödel buat kejelasan berdasarkan himpunan-aksioma dasar teoritis menggunakan mengajukan suatu kemampuan bisikan hati matematika, analog menggunakan persepsi indrawi dalam fisika, sehingga, mungkin, aksioma 'dipaksakan pada kita' sebanyak asumsi kekuatan 'diantara obyek fisik' sendiri kepada kita menjadi penjelasan berdasarkan pengalaman fisik kita. Namun, Thompson sebaliknya menyatakan bahwa telah mengakui kiprah keragu-raguan pada penggunaan bahasa yg apabila diterapkan dalam prinsip matematika menjadi aneh tapi konkret; antagonis dengan apa-apa yg masih ada pada kontinum dari intuitif palsu serta mencegah intuitif yang benar sahih, tergantung pada kekuatan dugaan kita akan lebih cenderung buat membuat menentangnya, bila kita tidak melihatnya, dan telah dimenangkan sang, buktinya, serta memang, untuk mengejutkan kita, kita sering menemukan, dalam waktu kita menjumpai paradoks, bagaimana bisikan hati kita lemah dan tidak berdaya. Thompson menyatakan bahwa gagasan mengenai intuisi kita yang wajib baik, tegas dan sahih, asal teori yg menyatakan bahwa kemampuan alat adalah kemampuan primitif yg diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yg mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yg tidak tergoyahkan, yang sudah menolak seluruh pembenaran lainnya kecuali kebenaran diriyang menemukan bahwa dirinya yg terdapat adalah dirinya yang sedang memikirkannya.
Di sisi lain, Posy, C., 1992, bersikeras bahwa sistem formal Hilbert sesuai dengan teori fungsi rekursif. Posy bersikeras bahwa Brouwer itu sangat menentang ilham-ide ini, terutama sistem yang berpondasi, dia bahkan menentang formalisasi nalar; Brouwer memiliki pandangan yang sangat radikal tentang matematika dan hubungannya menggunakan bahasa. Menurut Brouwer, pada bahasa, kita dapat berkomunikasi hasil dari konstruksi matematika, sebagai akibatnya membantu orang lain menciptakan pengalaman matematika, namun bukti itu sendiri merupakan pra-linguistik, kegiatan murni sadar yang jauh lebih fleksibel daripada bahasa. Brouwer berpikir bahwa sistem formal nir pernah mampu relatif buat menutup seluruh pilihan yang tersedia untuk matematika secara kreatif, dan berpikir bahwa formalisme tidak terdapat gunanya. Posy mencatat bahwa, khususnya, Brouwer berpikir bahwa hal demikian bukanlah suatu kegilaan buat berpikir bahwa logika dipakai buat menangkap anggaran buat berpikir matematis secara sahih. Brouwer memperlihatkan anggaran tertentu bahwa logika nir memadai buat mengembangkan metode berpikir menggunakan menunjuk aturan tengah yang dikecualikan.
Thompson, P., 1993, mencatat bahwa pandangan Brouwer tadi dikarenakan kepercayaannya bahwa penerapan akal tradisional ke matematika adalah fenomena sejarah, dia selanjutnya menyatakan bahwa oleh kabar bahwa, pertama, logika klasik disarikan dari matematika yg merupakan himpunan menurut himpunan maka pastilah terbatas, ke 2, bahwa eksistensi apriori independen dari matematika dianggap berasal menurut logika ini, serta akhirnya, atas dasar bahwa keyakinan apriori, maka logika tidak dibenarkan diterapkan dalam matematika. Selanjutnya, Posy, C., 1992, menambahkan bahwa Brouwer bersikeras tentang hipotesisnya mengapa filsuf dan ahli matematika perlu mengecualikan hukum tengah; berdasarkan Brouwer, akal sudah dikodifikasikan saat komunitas ilmiah hanya peduli menggunakan benda-benda terbatas. Brouwer berkata bahwa, mengingat hanya benda terbatas, aturan maka aturan tengah perlu dikecualikan, tetapi kesalahan itu dibuat waktu matematika pindah ke infinitary di mana aturan-anggaran kaku logika dipertahankan tanpa pertanyaan. Brouwer menyatakan bahwa tidak terdapat kodifikasi kaku wajib tiba sebelum pengembangan matematika. Posy menemukan bahwa perbedaan primer antara Brouwer serta Hilbert merupakan bahwa mereka nir sepakat pada posisi akal pada mana Hilbert pikir logika merupakan ilmu pengetahuan, jadi yg otonom dapat secara bebas diterapkan dalam matematika lain, sedangkan Brouwer berpendapat nir demikian.
Litlangs, 2004, menyatakan bahwa pertanyaan-pertanyaan mendalam tentang bagaimana variasi kecerdasan menghadapi kesulitan dalam menjelaskan matematika secara internal yaitu kesenjangan mereka, pertentangan serta bermakna ganda yang terletak pada bawah sebagian eksklusif berdasarkan prosedur, mengarah dalam konklusi kasar bahwa matematika mungkin tidak lebih logis dari puisi, melainkan hanya kreasi bebas berdasarkan pikiran manusia yg nir bertang-gungjawab buat memaknai diri kita dan alam. Litlangs menyatakan bahwa meskipun matematika mungkin tampak sebagai jenis pengetahuan yang paling kentara dan tertentu berdasarkan pengetahuan yg kita miliki, terdapat kasus relatif berfokus yang terdapat di setiap cabang lain dari filsafat tentang hakekat matematika dan makna proposisi tersebut. Litlangs menemukan bahwa Plato percaya dalam bentuk atau inspirasi yg kekal, mampu mendefinisikan menggunakan tepat serta bebas menurut persepsi; antara entitas dan objek geometri misalnya garis, titik, bulat, yang karenanya nir ditangkap menggunakan indra namun dengan akal, ia herbi obyek-obyek matematika dengan model-contoh khusus dari bentuk ideal. Menurut Plato, misalnya yang dicatat oleh Litlangs, proposisi matematika yg sejati menurut hubungan antara obyek tak berubah, mereka niscaya benar yg menemukan matematika yg sudah ada sebagai kebenaran "pada luar sana" daripada menciptakan sesuatu dari mental kita menjadi kesamaan, serta menjadi objek yang dirasakan sang alat kita, mereka hanya merupakan contoh dan cepat berlalu berdasarkan ingatan kita.
Sementara itu, Litlangs 2004, menambahkanbahwa bahwa Leibniz menduga bahwa nalar berjalan bersamaan menggunakan matematika, sedangkan Aristoteles menggunakan proposisi dari bentuk predikat, yaitu subjek menurut logika, Leibniz beropini bahwa subjek berisi predikat yg adalah sifat yg tidak terbatas yg diberikan sang Tuhan. Menurut Leibniz, proposisi matematika tidaklah sahih jika mereka berurusan dengan entitas kekal atau ideal, namun karena penolakan mereka secara logika tidak mungkin, maka proposisi matematika adalah sahih tidak hanya buat dunia ini, namun pula buat semua kemungkinan yang ada. Litlangs menyatakan bahwa tidak seperti Plato, yg menanyakan buat apalah sebuah bentuk fisik itu, ad interim Leibniz melihat pentingnya notasi, sebagai sebuah simbolisme perhitungan, serta sebagai permulaan berdasarkan metode buat membentuk dan mengatur karakter dan tanda-pertanda buat mewakili interaksi antara pikiran matematika.
Litlangs 2004, membicarakan lebih lanjut bahwa Immanuel Kant menduga entitas matematika sebagai proposisi sintetik apriori-, yang tentu saja memberikan syarat yang dibutuhkan buat pengalaman objektif; matriks ruang dan saat, serta wadah memegang bahan pengubah persepsi. Menurut Kant, matematika adalah gambaran ruang dan waktu, bila terbatas pada pikiran, konsep-konsep matematika diperlukan hanya konsistensi diri, tapi pembangunan konsep-konsep tadi melibatkan ruang yg mempunyai struktur eksklusif, yang sang Kant digambarkan pada geometri Euclidean. Litlangs mencatat bahwa bagi Kant, disparitas antara "2" yang abstrak "2 piring" merupakan mengenai konstruksi logika ditambah kasus empiris. Dalam analisisnya tentang infinitas, Kant menerima pembedaan Aristoteles antara potensi tak terbatas dan potensi lengkap, tapi nir menganggap keduanya adalah mustahil. Kant merasa bahwa tidak terhingga lengkap adalah citra tentang alasan, secara internal konsisten, meskipun tentu saja tidak pernah ditemui di dunia persepsi kita. Litlangs lebih lanjut menegaskan bahwa Frege serta Russell dan pengikut mereka menyebarkan gagasan Leibniz bahwa matematika adalah sesuatu yang secara logis tak terbantahkan; Hukum Frege memakai nalar ditambah definisi, serta merumuskan notasi simbolis buat alasan yg dibutuhkan. Tetapi, melalui rantai panjang penalaran, simbol-simbol ini menjadi kurang jelas, dan adalah transisi yg dimediasi oleh definisi. Litlangs mencatat bahwa Russell melihat mereka menjadi kemudahan notasi, langkah hanya pada argumen, sedangkan Frege melihat mereka menjadi menyiratkan sesuatu yg layak dari pemikiran yg cermat, acapkali menyajikan konsep-konsep matematika krusial dari sudut yang baru. Litlangs menemukan bahwa sementara pada perkara Russell definisi tidak mempunyai eksistensi objektif, dalam kasus Frege kasus ini tidak begitu kentara bahwa merupakan definisi merupakan objek logis yang mengklaim keberadaan sama menggunakan entitas matematika lainnya. Litlangs menyimpulkan bahwa, meskipun demikian, Russell menyelesaikan poly lawan asas buat menciptakan siatem Whitehead sebagai deskripsi yang monumental menurut Principia Mathematica.
Sementara itu, Thompson, P., 1993, yang merasa terpengaruh gerakan kritis dari Cauchy dan Weierstrass sudah menjadi hati-hati mengenai penggunaan matematika yang tak terbatas, kecuali menjadi Facon de Parler pada menyimpulkan teori atau mengambil batas, di mana matematika benar-benar dianggap berfungsi sebagai metafora, atau kiasan, buat menyatakan keadaan secara terbatas. Thompson ingin membandingkan antara penyanyi menggunakan kerja seorang matematikawan Leopod Kronecker. Matematikawan Jerman Leopold Kronecker, yg sudah mempunyai pengetahuan matematika kemudian berkehendak buat menulis ulang teori algebraic, dan bertujuan buat menjatuhkan keyakinan Cantor itu, tentang logika yang selama ini beliau yakini tentang penyelesaian tidak terbatas yg sempurna signifikan. Menurut Thompson, penyanyi sudah mendesak lebih lanjut bahwa kita harus sepenuhnya siap buat memakai istilah-kata yg akrab dan lazim pada konteks yang sama sekali baru, atau dengan mengacu pada situasi yg sebelumnya menggunakan tidak mempertimbangkannya terlebih dulu; bahwa penyanyi sudah dengan membabi buta menciptakan skema terbatas dalam domain tak terbatas, baik dengan cara menghubungkan kardinal atau kuantitas pada himpunan terbatas atau tak terbatas. Thompson bersikeras bahwa meskipun dia mengakui kerja matematika memakai intuisi, tetapi adalah penting buat membuat pendekatan pendekatan heuristik.
Thompson, P., 1993, menjelaskan bahwa Gödel berpendirian bahwa intuisi kita dapat digunakan buat bekerja pada domain yg sangat aksiomatis, seperti perpanjangan ZF, atau kalkulus, sehingga memungkinkan kita untuk menciptakan pertimbanganyang baik buat menerima atau menolak hipotesis secara independen menurut pra-teori atau praduga mengenai teori. Thompson memberitahuakn bahwa Gödel serta Herbrand, secara bersama-sama membuat klaim tentang demarkasi batas-batas kemampuan bisikan hati. Thompson menyimpulkan bahwa Gödel, menggunakan kemampuannya dalam akal transendental, senang berpikir bahwa logika kita hanya sedikit nir fokus, dan berharap bahwa terdapat kesalahan kecil sehingga masih mampu melihat secara tajam serta mampu berpikir matematika secara benar. Namun buat hal ini, dia tidak sama pandangan dengan Zermelo dan Hilbert. Thompson menyatakan bahwa Hilbert nir akan bisa meyakinkan kita bahwa matematika itu bersifat konsistensi buat selamanya, karenanya kita wajib puas jika sistem aksiomatis matematika seperti yang dibuat Hilbert dipercaya konsisten, bila kita nir sanggup membuktikannya.
Sementara itu, Turan, H., 2004, mengungkapkan bahwa Descartes membawa proposisi matematika ke dalam keraguan saat ia meragukan seluruh keyakinan mengenai hakekat logika sehat dengan mengasumsikan bahwa seluruh keyakinan dari dari persepsi sepertinya hanya sampai dalam asumsi awal bahwa perkara yg dihadapinya sebetulnya adalah suatu keraguan mengenai matematika, yaitu sebuah contoh menurut perkara keraguan mengenai eksistensi zat. Turan beropini bahwa masalahnya bukan apakah kita menghitung objek atau gambar yang sebenarnya kosong tapi apakah kita menghitung apa yang kita menghitung dengan sahih, beliau beropini bahwa karya Descartes merupakan mungkin buat mengekspos bahwa proposisi '2 +3 = lima 'dan argumen' Saya berpikir, maka aku ada, "sama-sama jelas. Menurut Turan, Descartes tidak menemukan epistemologinya pada bukti proposisi matematika, serta percobaan keraguan sepertinya tidak menaruh output positif untuk operasi matematika. Menurut Turan, pencerahan melaksanakan proposisi matematika yg nir boleh buat meragukannya, dan kesadaran melakukan operasi matematika atau nalar adalah model dari "aku berpikir" dan karena itu argumen "Saya menghitung, karena itu saya ada 'setara dengan' Saya pikir , maka saya terdapat '. Turan menampakan bahwa jika kita berpendirian bahwa proposisi matematika nir bisa menimbulkan kesulitan bagi epistemologi Descartes yg menurutnya buat menciptakan dalam kesadaran berpikir sendiri, maka beliau tidak bisa dicermati buat menghindari pertanyaan. Turan menyimpulkan bahwa proposisi matematika dengan sendirinya nir bermanfaat bila mereka tidak boleh diragukan. Apabila seluruh proposisi matematika lalu bisa diragukan oleh Rene Descartes, maka semua logika generik tentunya juga akan diragukannya. Maka Rene Descartes kemudian menemukan bahwa hanya masih ada satu saja hal yang tidak bisa diragukan yaitu kenyataan bahwa dirinya itulah yang sedang meragukan. Oleh karenanya beliau menyimulkan bahwa dia terdapat lantaran berhasil meragukannya. Atau cogito ergosum, aku berpikir maka aku terdapat. Tetapi kemudian Rene Descartes menemukan fenomena bahwa beliau nir bisa menjawab semua keraguan tersebut, maka dia menemukan bahwa manusia, termasuk dia, adalah terbatas. Kemudian beliau menyimpulkan pastilah terdapat yg tidak terbatas, yaitu diri Tuhan YME.
Turan, H., 2004, bersikeras bahwa hubungan antara persepsi dan matematika bisa disangkal, bagaimanapun membatasi pikiran kita menggunakan konteks dimana pengandaian ontologis filosofis buat refleksi pada persepsi dipertaruhkan; berdasarkan beliau, kita wajib mencatat pentingnya persepsi terhadap sifat keberadaan yang Descartes menduga terutama buat tujuan epistemologis. Turan mencatat bahwa Descartes sepertinya meninggalkan argumen bahwa Tuhan menipu buat asumsi himpunan dan ini hipotesis terakhir sepertinya buat memanggil ke pada keraguan tertentu keyakinan terkait menggunakan keberadaan global luar, karenanya, adalah mungkin buat menyatakan bahwa Descartes menyerah dalam mengejar pertanyaan mengenai kebenaran evaluasi matematika, dan Descartes sepertinya memberkati adanya si jenius dursila yang semata-mata dengan kekuatannys menipu pikirannya pada hal yang berkaitan menggunakan evaluasi dalam keberadaan hal-hal eksternal. Turan menemukan bahwa Descartes selalu menduga demonstrasi matematika antara kebenaran yang paling jelas bahwa pikiran manusia dapat mencapai, serta menyebut mereka menjadi model benda yg dapat berintuisi jelas serta jelas; Descartes merasa bahwa aritmatika dan geometri bebas berdasarkan segala noda kepalsuan atau ketidakpastian. Menurut Descartes, matematika yg bersangkutan menggunakan obyek begitu murni serta sederhana bahwa mereka nir membuat asumsi bahwa pengalaman mungkin membuat tidak pasti, melainkan terdiri dalam menyimpulkan konklusi melalui argumen rasional.
Selanjutnya, Turan, H., 2004, bersikeras bahwa Descartes memakai keberadaan eksternal suatu obyek, buat melakukan kegiatan konklusi dan intuisi sebagai metode yang sah buat memperoleh pengetahuan. Bagi Descartes, intuisi merupakan konsepsi niscaya yg sederhana berdasarkan pikiran yang jernih serta penuh perhatian yg berlangsung semata-mata menurut cahaya argumen serta pada agama lebih niscaya dari deduksi, akan tetapi pemikiran yang tidak epistemologis akan kalah menggunakan intuisi insan yg penuh perhatian. Descartes menjamin bahwa meskipun matematika secara ekstensif menggunakan metode deduksi, namun dia mengungkapkan bahwa konklusi adalah metode tunggal yg absah dan memegang intuisi yg sangat dibutuhkan sebagai indera buat memperoleh pengetahuan matematika, serta proposisi matematika memiliki taraf yang sama menggunakan kepastian sebagai argumen cogito ontologis yg pasti. Bagi Descartes matematika merupakan invariabel sehubungan menggunakan pengandaian ontologis, tapi begitu dibawa ke pada konteks percobaan keraguan terlihat bahwa itu mengandung akibat ontologis krusial yang tampak menjadi objek matematika dan operasi mengandaikan keberadaan. Lalu Descartes menyatakan bahwa:
Saya merasa bahwa aku kini terdapat, serta ingat bahwa saya sudah ada selama beberapa ketika, apalagi, aku mempunyai pikiran banyak sekali yang saya sanggup menghitung, melainkan dalam cara-cara yg aku menerima inspirasi-ide menurut durasi dan jumlah yang saya kemudian dapat ditransfer ke lain hal. Adapun semua elemen lain yang membentuk ilham-ide dari hal-hal jasmani, yaitu perluasan, bentuk, posisi dan gerakan, ini tidak secara resmi terdapat pada aku , lantaran saya hanyalah sebagai pemikiran, tetapi karena mereka hanya mode suatu zat serta saya substansi, sepertinya mungkin bahwa mereka yang terkandung pada diriku nyata.
Selanjutnya, Turan, H., 2004, menegaskan bahwa ketergantungan fungsional serta ontologis jumlah dan universal lain, membuat cogito di mana sebuah model pemikiran pada mana ke 2 bukti serta kepastian ontologis bisa dicapai dalam satu langkah; epistemologis sebelum proposisi matematika yg mungkin , itu dianggap terpisah menurut konteks percobaan keraguan serta terlihat untuk mewujudkan bukti. Menurut Turan, "saya menghitung, karenanya aku 'adalah epistemologis setara menggunakan' Saya berpikir, maka saya '; kedua argumen kebal buat diragukan, namun si jenius jahat memang sanggup membuat saya keliru karena saya menghitung pikiran saya atau penampilan, tetapi tidak sanggup menipu aku dalam kesimpulan aku menarik adanya liputan bahwa saya menghitung telah cukup buat menerangkan bahwa saya terdapat terlepas berdasarkan apakah saya menghitung atau menambahkan atau melakukan operasi matematika secara galat. Turan menyimpulkan bahwa situasi ontologis didirikan sang eksperimen keraguan Cartesian sudah membawa hambatan epistemologis yang berfokus; eksperimen menemukan bahwa wahana epistemologis memungkinkan kita untuk mempekerjakan untuk pindah secara ontologis lebih lanjut, tentulah wajib sebagai galat satu asal daya yang tepat berdasarkan situasi ontologis yang telah membatasi dirinya buat tujuan epistemologis, pada istilah lain, baku epistemologis eksperimen wajib sinkron menggunakan yang ditentukan oleh pengaturan ontologis percobaan keraguan. Turan mencatat bahwa eksperimen menemukan nya sendiri menggunakan hal-hal yang sanggup kita sebut persepsi atau pikiran, di sebuah sudut pandang berdasarkan mana beliau mengambarkan peristiwa persepsi dan pikiran serta nir mampu memahami dengan baik bagaimana mereka dibeli, sedangkan Descartes karenanya sanggup tergantung hanya pada berpikir bahwa beliau memiliki persepsi atau pikiran dalam penyelidikan epistemologis buat mendirikan sebuah kepastian yang nir bisa dipengaruhi sang argumen berdasarkan percobaan keraguan.
Podnieks, K., 1992, menguraikan bahwa sebelum Kant, matematika ditinjau menjadi dunia empiris, namun spesifik dalam satu cara penting yang sifat yang dibutuhkan dunia ditemukan melalui bukti matematika, tetapi buat menandakan sesuatu yg galat, seseorang wajib memberitahuakn hanya bahwa dunia mungkin tidak sama. Dalam hal perkara epistemologis, Posy diberitahu bahwa ilmu dalam dasarnya merupakan generalisasi berdasarkan pengalaman, namun hal ini dapat menaruh hanya pilihan saja, sifat yg mungkin menurut global yang itu bisa saja kebalikannya. Di sisi lain, ilmu pengetahuan hanya memprediksi bahwa masa depan akan mencerminkan masa lalu, sedangkan matematika merupakan mengenai dunia empiris, namun umumnya metode buat pengetahuan asal menurut pengetahuan kontingen, bukan keharusan bahwa matematika murni memberi kita, pada jumlah, Posy menyimpulkan bahwa Kant ingin pengetahuan yg dibutuhkan menggunakan pengetahuan empiris. Posy kemudian menguraikan langkah yg dilakukan sang Kant dalam memecahkan perkara dalam beberapa langkah: pertama, bahwa obyek pada global empiris merupakan penampakan atau fenomena pada mana, secara alami, mereka hanya mempunyai sifat bahwa kita mengenal mereka menurut pengalaman, mereka bukanlah hal pada diri mereka. Posy menemukan bahwa Kant menyampaikan kita harus menjadi seorang idealis pada mana sifat menurut obyek adalah hanya apa yg dipahami, nir terdapat sifat obyek yang berada diluar pengalaman kita. Kedua, Kant menyarankan buat membentuk ke pada pikiran kita dua bentuk intuisi serta persepsi sehingga setiap persepsi yg kita miliki merupakan terbentuk oleh bentuk Ruang serta Waktu, berdasarkan Kant,ini, sebenarnya, bagian menurut pikiran, dan bukan sesuatu pikiran mengambil berdasarkan pengalaman; serta menggunakan demikian, objek realitas selalu bersifat spasio-temporal.
Selanjutnya, Posy, C., 1992, menunjukkan bahwa, dari Kant, kita mengenal sifat spasio-temporal dengan cara a priori, dan pada menilik sifat spasio-temporal, kita hanya mengusut diri kita sendiri, serta kemampuan persepsi kita. Menurut Kant, matematika hanyalah ilmu yg menilik sifat spasio-temporal dari objek dengan menyelidiki sifat ruang dan waktu; serta dengan demikian, matematika adalah belajar dari bentuk tak berbentuk persepsi. Dalam hal ilham ke takhinggan maka aturan-hukumnya nir tunduk pada persepsi, Kant, seperti yang ditunjukkan oleh Posy, membuat disparitas antara intuisi empiris yaitu bisikan hati berdasarkan indera yang selalu terbatas serta intuisi murni. Posy memberitahuakn bahwa studi mengenai kemungkinan intuisi realitas di mana batas yang terbatas nir diperkenalkan di kedua arah, serta matematika tidak menangani hal ini. Menurut Kant matematika memungkinkan membagi interval kecil dan ekspansi interval besar , ini berarti kita mampu mendiskusikan jumlah yang lebih mini dan lebih mini tanpa memperkenalkan jumlah terkecil misalnya jika kita ingin menerangkan interval ini dibagi, kita dapat melakukan ini menggunakan menentukan interval; memberitahuakn itu habis dibagi, serta abstrak berdasarkan berukuran sebenarnya, serta biarkan mewakili gagasan interval dipahami.
Kant menyatakan bahwa matematika murni, menjadi kognisi a priori, hanya mungkin dengan mengacu dalam benda selain yang diindra, pada mana, pada dasar bisikan hati empiris mereka terletak sebuah bisikan hati murni (ruang dan ketika) yg a priori. Kant menjamin bahwa ini mungkin, karena intuisinya yg terakhir tidak lain merupakan bentuk sensibilitas belaka, yang mendahului penampilan yang sebenarnya berdasarkan objek, dalam hal ini, pada kenyataannya, membuat mereka mungkin; tetapi ini merupakan kemampuan berintuisi a priori yg mampu memahami fenomena non fisik. Kant mendeskripsikan bahwa dalam prosedur biasa kita memerlukan pengetahuan geometri, bahwa semua bukti tentang similaritas dari dua benda yg diberikan akhirnya akhirnya diperoleh; yang ternyata nir lain bahwa bukti itu sampai dalam bisikan hati eksklusif, dan bisikan hati ini harus murni, serta bersifat a priori. Jika proposisi nir memiliki kebenaran matematika yang tinggi, maka hal tadi tidak bisa disimpulkan berdasarkan hanya memperoleh kepastian realitas saja. Kant lebih jauh menyatakan bahwa pada mana-mana ruang mempunyai 3 dimensi, serta dalam suatu ruang berlaku dalil bahwa tidak lebih menurut tiga garis lurus bisa memotong pada sudut yg sempurna pada satu titik.